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1、1.2 充分条件与必要条件 1.2.1 充分条件与必要条件,主题 充分条件和必要条件 1.判断下列两个命题的真假,若为真命题,说明条件和结论有什么关系? (1)若xa2+b2,则x2ab. (2)若ab=0,则a=0.,提示:(1)为真命题,(2)为假命题,(1)为真命题说明:由条件xa2+b2,通过推理可以得出结论x2ab.,2.以上条件和结论的关系是否对任意一个“若p,则q”的命题都成立? 提示:都成立.,结论:充分条件与必要条件,充分,必要,充分,必要,【微思考】 1.若p是q的充分条件,这样的条件p唯一吗? 提示:不唯一.例如“x1”是“x0”的充分条件,p可以是“x2”“x3”或“2
2、x3”等.,2.“若p,则q”为真命题,则p是q的什么条件? 提示:若p,则q为真命题,等价于若q,则p为真命题,即qp,故p是q的必要条件.,3.如何理解充分条件、必要条件中的“充分”和“必要”? 提示:“充分”即条件充分,有充足的理由;“必要”即必须要有,缺之不可.,【预习自测】 1.直线y=kx+b过原点的充分条件是 ( ) A.b=0 B.b0 C.b0 D.bR 【解析】选A.b=0时,直线y=kx过原点.所以b=0是直线y=kx+b过原点的充分条件.,2.a0 C. 1 D. -1 【解析】选A.a+b0 a0,b0,而a0,b0a+b0.,3.对于任意的实数a,b,c,在下列命题
3、中,真命题 是 ( ) A.“acbc”是“ab”的必要条件 B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件 C.“acbc”是“ab”的充分条件 D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件,【解析】选B.当c为零时,由ac=bc a=b.,4.指出下列各组命题中,p是q的什么条件. (1)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形. (2)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.,【解析】(1)因为四边形的对角线相等 四边形是平行四边形, 四边形是平行四边形 四边形的对角线相等, 所以p是q的既不充分也不必要条件.,(2)因为(x-1)2+(y-2)2=0x=1且y=2
4、(x-1) (y-2)=0,而(x-1)(y-2)=0 (x-1)2+(y-2)2=0, 所以p是q的充分不必要条件.,类型一 充分条件和必要条件的判断 【典例1】(1)(2017杭州高二检测)在等比数列an中,“a1a3”是“anan+1”的_条件(从“充分”“必要”中选择一个正确的填写).,(2)(2017洛阳高二检测)下列式子: a0b;ba0;b0a;0ba. 其中能使 成立的充分条件有_.(只填序号),【解题指南】(1)看由“a1a3”能否推出“anan+1”, 由“anan+1”能否推出“a1a3”,然后下结论. (2)看,这几个条件能否推出命题 成立.,【解析】(1)如an=(-
5、3)n-1,a1=(-3)0=1,a3=(-3)2=9,满 足a1a3,但数列an是摆动数列,不是递增数列,所 以,a1a3 anan+1;反之,若anan+1,则数列an是递 增数列,则有a1a2a3,故有a1a3,因此“a1a3”是 “anan+1”的必要条件. 答案:必要,(2)当a0b时, 当ba0, 0; 当b0a时, 当0ba时, 所以能使 成立的充分条件有. 答案:,【延伸探究】1.本例(1)中条件不变,判断“anan+1”是“a1a3”的什么条件. 【解析】由(1)解析知,“anan+1”是“a1a3”的充分条件.,2.若把本例(1)中“a1a3”改为“a1a2”,其他条件不变
6、,则结果如何? 【解析】如an=(-1)n,a1=-1,a2=1,满足a1a2, 但an不是递增数列,反之若anan+1, 则有a1a2,因此“a1a2”是“anan+1”的必要条件.,【方法总结】充分条件的两种判断方法,【拓展延伸】充分条件和必要条件的本质区别 p是q的充分条件的含义是:要使q成立,只要满足条件p就行;p是q的必要条件的含义是:要使p成立,必须满足条件q才行.,从集合的观点看,必要条件的意义是:设集合A= x|x满足条件p, B=x|x满足条件q, 若AB,则p是q的必要条件; 若AB,则p不是q的必要条件.,【补偿训练】1.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面 内,“l”
7、是“lm且ln”的_条件(从“充分”“必要”中选择一个填写).,【解析】llm且ln,而m,n是平面内两条直线,并不一定相交,所以lm且ln不能得到l. 答案:充分,2.“a0”是“方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根”的_条件(从“充分”“必要”中选择一个填写).,【解析】当a0时,由根与系数的关系知x1x2= 0,故 此一元二次方程有一正根和一负根,符合题意;当 ax2+2x+1=0至少有一个负数根时,a可以为0,因为当 a=0时,该方程仅有一根为- ,所以a不一定小于0.由 上述推理可知,“a0”是“方程ax2+2x+1=0至少有一 个负数根”的充分条件. 答案:充分,类型二 充分、
8、必要条件的应用 【典例2】已知p:-2x10,q:1-mx1+m,且p是q的充分条件,但不是必要条件,求实数m的取值范围. 【解题指南】根据充分条件、必要条件的意义列出不等式组求解即可.,【解析】因为p是q的充分条件,但不是必要条件, 所以pq但q p, 即x|-2x10是x|1-mx1+m的真子集, 所以 或 解得m9. 所以实数m的取值范围为m|m9.,【方法总结】应用充分、必要条件求参数的取值范围 根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系,将问题转化为集合之间的关系,建立关于参数的不等式或不等式组求解,注意数形结合思想的应用.,【巩固训练】已知P=x|a-4xa+4,Q=x|x2-4x+30,若xP是xQ的必要条件,求实数a的取值范围.,【解析】由题意知,Q=x|1x3,QP, 所以 解得-1a5. 故实数a的取值范围是-1,5.,【补偿训练】不等式(a+x)(1+x)0成立的一个充分而不必要条件是-2x-1,则a的取值范围是_.,【解析】不等式变形为(x+1)(x+a)-a,即a2. 答案:a2,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 判断p是q的什么条件的方法 主要判断pq,及qp两命题的正确性,若pq真,则p是q成立的充分条件;若qp真,则p是q成立的必要条件.要否定p与q不能相互推出时,可以举出一个反例进行否定.,
