《喷泉问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《喷泉问题（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名
2、号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：喷泉系统问题摘要本题目要求我们设计一个算法，随风力条件的变化，运用风速计给出的数据来调整喷泉。使行人在赏心悦目的景象与淋水浸湿之间提供可以接受的平衡。而本题实质上是
3、求水从喷泉口喷出后直到降落这一过程的水平位移，只要水平位移比喷泉的半径小，那么他就不会淋湿行人。而我们知道，喷泉中喷出的水是以水柱的形式上升，到达最高点时，再以水珠的形式下落，所以我们要求的水平位移就包括两个方面：一是水柱上升阶段的水平位移，二是水珠下降阶段的水平位移，将这两个位移加起来才是我们要求的总位移。求出总位移后，将与喷泉池的半径进行比较，如果,就说明喷泉喷水的初速度过大，应该减小初速度。反之，如果，说明喷泉喷水的初速度过小，应该适当增大初速度来得到实际的初速度。如果，经过调整得到的初速度就是喷泉的实际速度。关键词 水平位移、积分、流体力学型阻理论一 问题复述在某高校校园内一块露天广场
4、上，校方设计了一个喷泉系统，把水喷向高空供师生欣赏。水池成正方形且喷水嘴在水池中央按正方形均匀点阵分布。刮风的日子，风会把水花吹向过路的行人。为此校方准备再加装一套与风速计（安装在附近楼房顶上，用于测量风速和方向）相连的机械控制装置。控制目标，是要为行人在赏心悦目的景象与淋水浸湿之间提供可以接受的平衡：风刮地越猛，水量和喷射高度就越低，或者可以调整喷射角度，从而较少的水花落在水池范围以外。请设计一个算法，随风力条件的变化，运用风速计给出的数据来调整喷泉。二 问题的分析 本题目要求我们设计一个算法，随风力条件的变化，运用风速计给出的数据来调整喷泉。使行人在赏心悦目的景象与淋水浸湿之间提供可以接受
5、的平衡。而本题实质上是求水从喷泉口喷出后直到降落这一过程的水平位移，只要水平位移比喷泉的半径小，那么他就不会淋湿行人。而我们知道，喷泉中喷出的水是以水柱的形式上升，到达最高点时，再以水珠的形式下落，所以我们要求的水平位移就包括两个方面：一是水柱上升阶段的水平位移，二是水珠下降阶段的水平位移，将这两个位移加起来才是我们要求的总位移。三 模型假设1，水柱在上升过程中形态不会发生变换。2，假设在水柱喷出过程中形成的水雾不会淋湿行人。3，假设风的方式与速度是稳定的，即风向是水平方向，风速不变。4，水柱竖直的喷向空中，喷泉口与地面垂直。四符号说明五 建立数学模型通过对本题的分析，我们可以知道，水从喷泉口
6、喷出后再到落回地面经过两个过程，第一过程是水以水柱的形态从喷泉口喷出，上升到最大高度后进行到第二过程，以水珠的形态下落回地面。1， 第一阶段：水柱上升过程1.1首先我们先要对水柱进行总体的分析：选取高度为的一小段微小的水柱作为研究对象，则可以得出:水柱的体积： 质量：在竖直方向上对水柱进行受力分析发现，他受到方向向下的重力和方向向上的空气阻力的影响，而此时相对于重力而言，水柱受到的空气阻力可以忽略不计，所以：水柱竖直方向加速度：水柱上升达到的最大高度为： 所用的时间 在水平方向上，水柱受到水平方向上风力的作用，要求风力，首先是先根据风速计上显示的风的速度计算风压，再求风压的有效面积，这样就可以
7、求出风力。风压可以利用贝努利公式(1)计算： 有效面积：所以风力:1.2 我们将总时间划分成个阶段，每一个小的时间段是，因为很小，所以我们可以将每个小的时间段内水柱的水平以及竖直方向看做匀变速直线运动。我们取第段时间段进行研究，设为此时间段内水柱的竖直初速度，为此时水柱的水平初速度：1.2.1 竖直方向上：水柱的竖直位移：水柱的末速度为： 1.2.2 水平方向上：水柱的水平加速度为： 位移为 末速度为： 1.3 所以，在整个上升过程中的水柱的总的水平位移是 2，第二阶段：水珠下降过程设水珠的半径为，则：水珠的体积： 质量：风力对水珠的有效作用面积：水珠的下降过程，我们取时间为的时间段，选取第个
8、时间段进行分析，用2.1 竖直方向上：在竖直方向上对水珠进行受力分析，它受到方向向下的重力和方向向上的空气阻力的影响，此时的阻力不能忽略。根据流体力学型阻理论空气对水珠的阻力为： (为型阻系数，取值：0.2)。水珠在竖直方向上的加速度：位移：A:当时，竖直方向上的末速度为B: 当时，竖直方向上的末速度为 其中 2.2 水平方向上风力为 加速度 位移： 末速度 2.3 所以综上得到，水珠下降的总高度： 水珠的总的水平位移： 六 模型的求解 我们已经算出水柱上升的最大高度，以及水珠下落的总高度，比较这两个值的大小。如果水珠下落的总高度大于水柱上升的最大高度，说明水珠已经落地，而我们所求出的水珠的总
9、的水平位移就是符合要求，正确的；如果水珠下落的总高度小于水柱上升的最大高度，那我们就应该继续增加时间段，使水珠下落的总高度与水柱上升的最大高度越接近越好。 喷泉中喷出的水的总的水平位移是 将与喷泉池的半径进行比较，如果,就说明喷泉喷水的初速度过大，应该减小初速度。反之，如果，说明喷泉喷水的初速度过小，应该适当增大初速度来得到实际的初速度。如果，经过调整得到的初速度就是喷泉的实际速度。七 模型的评价1，模型的优点：模型建立时，忽略了水分子间作用力、离地面不同高度风速不同等因素的影响。对于给定的喷泉池，根据测风计测得的风速，通过所设计的算法可以自动调节喷泉喷出水时的初速度，从而达到自动控制喷泉上升
10、的最大高度的目的。计算方法也较为简单。2，不足之处,首先是在水柱上升阶段忽略了阻力的影响，阻力在水柱上升过程中，大小是不断变化的。而，该模型直接忽略阻力，会对结果产生误差；再就是实际上风对于水在不同高度时的作用力也是不相同的，而这个问题我们也忽略了，所以也会产生误差。八 模型的改进 我们可以在水柱上升这一过程中增加阻力对水柱速度影响这一条件。九 参考文献参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：编号 作者，书名，出版地：出版社，出版年。参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：编号 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。参考文献中网上资源的表述方式为：编号 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。十 附录- 7 -
