《一维无线深方势阱》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一维无线深方势阱（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.7 一维定态问题,在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger 方程来处理一类简单的问题一维定态问题。其好处有四： （1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其他基本原理； （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。,1 一维无限深势阱 2 线性谐振子 3 一维势散射问题,（3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；,1 一维无限深势阱,（一）一维运动 （二）一维无限深势阱 （三）宇称 （四）讨论,（一） 一维运动,所谓一维运动就是指在某一方向上的运动。,此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成
2、： V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z) 形式，则 S-方程可在直角坐标系中分离变量。,令 (x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = Ex + Ey + Ez 于是S-方程化为三个常微分方程：,当粒子在势场 V(x,y,z) 中运动时，其 Schrodinger 方程为：,其中,（二）一维无限深势阱,求解 S 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）定归一化系数,（1）列出各势域的 S 方程,方程可 简化为：,势V(x)分为三个区域， 用 I 、II 和 III 表示， 其上的波函数分别为 I(
3、x),II(x) 和 III (x)。则方程为：,（3）使用波函数标准条件,从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是 (-a) = (a) = 0。,1。单值，成立； 2。有限：当x - ， 有限条件要求 C2=0。,使用标准条件 3。连续：,2）波函数导数连续： 在边界 x = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为： 若I(-a) = II(-a)， 则有，0 = A cos(-a + ) 与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-a + )= 0 矛盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。,1）波
4、函数连续：,(1)+(2),(2)-(1),两种情况：,讨论,状态不存在,描写同一状态,所以 n 只取正整数，即,于是：,或,于是波函数：,类似 I 中关于 n = m 的讨论可知：,综合 I 、II 结果，最后得：,对应 m = 2 n,对应 m = 2n+1,能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。,由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处， = 0 。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。,（4）由归一化条件定系数 A,小结 由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解S方程的一般步骤如下：,一、列出各势域上的S方程
5、； 二、求解S方程；,三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值；,四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。,（三）宇称,（1）空间反射：空间矢量反向的操作。,（2）此时如果有：,称波函数具有正宇称（或偶宇称）；,称波函数具有负宇称（或奇宇称）；,（四）讨论,一维无限深 势阱中粒子 的状态,（2）n = 0 , E = 0, = 0，态不存在，无意义。 而n = k, k=1,2,.,可见，n取负整数与正整数描写同一状态。,（4）n*(x) = n(x) 即波函数是实函数。,（5）定 态 波 函 数,（3）波函数宇称,作 业,周世勋：量子力学教程第二章 2.3、 2.4、 2.8,
