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1、第四章 特征值与特征向量的计算,1 幂法和反幂法,1.1 幂法,用于求矩阵的按模最大的特征值与相应的 特征向量的近似值。,设,为,阶实矩阵,为其特征值,与相应的特征向量,且满足：,线性无关.,对任意向量,有,不全为零。,可近似地作为矩阵A 的属于,的特征向量。,上述迭代过程实质上即,称为幂法。,在实际计算时，为避免,过大或过小，,每迭代一次都对,进行一次归一化，使,实际迭代公式是,在此迭代格式下，,假定,的第r 个分量的模最大。,记,容易证明：,算法4.1,输入,，初始向量,2.置,3.求整数,使,4.计算,置,5.若,输出,停机；否则，转6,6.若,置,否则输出失败信息，停机。,转3;,可以
2、证明，,当A 有n个线性无关的特征向量时，在以下 两种情况下，仍能利用幂法求矩阵的绝对值最大 的特征值及相应的特征向量。,个线性无关的特征向量。,例1 用幂法求矩阵,的按模最大的特征值和相应的特征向量。,取,要求误差不超过,解：,幂法的收敛速度取决于比值,比值越小,收敛越快。,1.2 幂法的加速,（一）原点移位法,设A有特征值,且,取,使得,且,用幂法求矩阵,的按模最大的特征值,则,这就是原点移位法。,例如，,此时，,收敛速度较慢。,若取,且,则,收敛速度加快。,(二)幂法的埃特肯（Aitken）加速,若,收敛于,且,即,线性收敛，当,充分大时，有,可以证明,比,快，以,逼近,这就是Aitken加速法。,算法4.2,1.3 反幂法,基本思路：,算法4.3 反幂法,另外两种求矩阵特征值和特征向量的方法：,
