《高数二》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数二（93页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等数学(二)考试内容,一、函数、极限和连续,二、一元函数微分学,三、一元函数积分学,四、无穷级数,五、常微分方程,第一讲 函数, 极限和连续,一、函数 二、极限 三、连续,一、函 数,1. 函数的概念 2. 函数的简单性质 3. 反函数 4. 基本初等函数 5. 函数的四则运算与复合运算 6. 初等函数,定义 在某变化过程中有两个变量 x 和 y, 如果变量 x 在数集 A 内任取一个数值, 按照某种对应法则, 变量 y 都有唯一确定的数值与之对应, 则称变量 y 是 x 的函数, 记为,y = f (x),因变量,对应法则,自变量,值域,定义域,求定义域,例 1 求下列函数的定义域.,练:
2、 函数 的定义域是_.,(2007年高数一),函数的奇偶性 函数的单调性 函数的周期性 函数的有界性,2. 函数的简单性质,定义 函数 y=f(x) 对于定义域 D 内任意 x , 都有,(2) 若 f (-x)= -f (x), 则称 y=f(x) 为奇函数.,(1) 若 f (-x)=f (x), 则称 y=f(x) 为偶函数;,函数的奇偶性,例 2 判别下列函数的奇偶性.,增函数,减函数,增函数 y=f (x) 的图像沿 x 轴正向上升,若函数 y=f (x) 在区间 (a, b) 内增加或减少, 则称此区间为 f (x) 的单调区间.,减函数 y=f (x) 的图像沿 x 轴正向下降,
3、函数的单调性,f (x1) f (x2) , 则称 y= f (x)在区间 (a, b)内是增函数.,若函数 y= f (x), 对于区间 (a, b) 内的任意两点 x1 x2 , 有,增函数和减函数统称为单调函数,定义,f (x1) f (x2) , 则称 y= f (x)在区间(a, b)内是减函数.,函数的单调性,例 3 判别下列函数在指定区间内的单调性.,函数的周期性,定义 若对于函数 y= f (x), 存在一个常数T , 对于x在定义域内的一切值, 都有 成立, 则称 y=f(x) 是周期函数, T为函数的周期.,通常所说的周期是指 T 的最小正值.,例如,函数 y=sin x,
4、 y=cos x 的周期是,函数 y=tan x, y=cot x 的周期是,例 4 下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数, 指出其周期:,例 函数 y=sin x,函数的有界性,有界函数,例 函数 y=cos x,函数的有界性,有界函数,定义 设函数 y=f (x) 在 (a, b) 内有定义, 若存在常数M0, 使对于 (a, b) 内的任何 x , 有| f (x) |M 成立. 则称 y=f (x)在(a, b)内有界.,否则, 称f (x)在(a, b)内无界.,几何意义:,f (x)的图形夹在两平行直线 y = M 之间.,例 函数,无界函数,例 函数,无界函数,在 内无界,
5、在 内无界.,在 内有界,练:,(2008年高数二),函数 f(x)=x3 sin x 是 ( ),偶函数 B. 奇函数 C. 周期函数 D. 有界函数,函数 f(x)=(x2+1) cos x 是 ( ),奇函数 B. 偶函数 C. 有界函数 D. 周期函数,例 5 求下列函数的反函数.,练: (2007年高数二),2. 幂函数,3. 指数函数,4. 对数函数,5. 三角函数,6. 反三角函数,1. 常 量,3. 基本初等函数,正弦函数,反正弦函数,值域:,定义域:,定义域:,值域:,余弦函数,反余弦函数,值域:,定义域:,定义域:,值域:,-1, 1,正切函数,反正切函数,值域:,定义域:
6、,定义域:,值域:,余切函数,反余切函数,值域:,定义域:,定义域:,值域:,定义 设 y 是 u 的函数 y=f (u), 而 u 又是 x 的函数 u= (x). 若 u= (x) 的值域包含在 y=f(u) 的定义域内, 则 y 通过 u 的联系是 x 的函数. 称做由函数 y=f(u) 及 u= (x) 复合而成的函数, 简称复合函数.,记作,u - 中间变量,4. 复合函数,例 6 在下列各题中, 求由所给函数构成的复合函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值 x1 和 x2 的函数值.,例 7 设 f(x) 的定义域 D=0, 1, 求下列各函数的定义域.,练:,(2006年高数一
7、),函数f(x)的定义域为0, 1, 则函数 的定义域是_.,5. 初等函数,由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合所构成, 且用一个解析式表示的函数, 叫做初等函数, 否则就是非初等函数.,例:,二、极 限,1. 数列极限的概念 2. 数列极限的性质 3. 函数极限的概念 4. 函数极限的性质 5. 两个重要极限 6. 无穷小量和无穷大量,1. 数列极限的概念,记为,定义 设有数列 an , A 是一个常数, 若当 n无限增大时, an 无限趋近于常数 A, 则称数列an 以 A 为极限, 或称数列 an 收敛于 A.,或,1. 数列极限的概念,记为,有极限的数列称为收敛数列,定义 设
8、有数列 an , A 是一个常数, 若当 n无限增大时, an 无限趋近于常数 A, 则称数列an 以 A 为极限, 或称数列 an 收敛于 A.,或,没有极限的数列称为发散数列,则称数列 an 是有界数列.,若这样的 M 不存在, 则数列 an 是无界数列.,(,),对于数列 an, 若存在正数 M, 使得一切 an 都满足不等式,2. 数列极限的性质,有界数列,1,1,(,),2,2,定义 数列 an 称为:,(1) 单调递增, 如果,(2) 单调递减, 如果,x,x,数列极限存在准则:,(1) 单调递增有上界的数列必有极限;,(2) 单调递减有下界的数列必有极限.,x,x,数列极限存在准
9、则:,(1) 单调递增有上界的数列必有极限;,(2) 单调递减有下界的数列必有极限;,(3) 夹逼定理: 若 且,则,数列极限存在准则:,(3) 夹逼定理: 若 且,则,例 1 求下列极限.,练: (2006 高数一),练: (2008 高数二),求极限,练: (2007 高数二),计算,(1),当 时, f(x)的函数值无限趋于常数 A.,的充分必要条件是,例:,指的是,3. 函数极限的概念,?,?,y=e-x,?,?,例:,(2),指的是,3. 函数极限的概念,当x无限趋于x0 时, f(x)无限趋于 A.,求,求,1,-1,2,当 x x0 而趋于x0时, f(x)的极限值,称为 f(x
10、)在x0处的左极限.,当 x x0 而趋于x0时, f(x)的极限值,称为 f(x)在x0处的右极限.,例 3 求函数 在 x= -1 和 x=1 处的单侧极限,f(x)在x0处的左极限,f(x)在x0处的右极限,的充分必要条件是:,定理 (四则运算法则),法则1,设 lim u=A, lim v=B, 则,法则3,法则2,4. 函数极限的性质,推论1 设 lim u=A, c为常数, 则,推论2 若 lim u 存在, n为正整数, 则,推论3 若 lim u 存在, 为正数, 则,有理分式函数当 时的极限,例4 计算下列极限,练: (2006高数二),5. 两个重要极限,(1),(2),例
11、5 计算下列极限,练: (2007高数一),计算极限,练: (2006高数一),计算,练: (2008高数二) 计算极限,练: (2005高数二) 计算极限,练: (2008高数二),求极限,练: (2008高数一),练: (2007高数二),求极限,6. 无穷小量和无穷大量,(1),称 f(x)在 时为无穷小量.,例: sinx在 时为无穷小量.,在 时为无穷小量.,记作,(或 时, ),例: 在 时为无穷大量.,在 时为无穷大量.,(3) 无穷小量与无穷大量的关系,无穷小量的倒数为无穷大量, 无穷大量的倒数为无穷小量.,即:,(4) 无穷小量的性质:,无穷小量与有界变量的乘积为无穷小量.,
12、例:,(5) 两个无穷小量阶的比较,定义 设 时,记作,练: (2006高数一),当x0时, 与x不是等价无穷小量的是 ( ),(A) sinx-x2 (B) x-sin2x (C) tanx-x3 (D) sinx-x,练: (2006高数二),当x0时, f(x)=x-sinx是比 x2 的 ( ),(A)高阶无穷小 (B) 等价无穷小 (C) 同阶无穷小 (D) 低阶无穷小,练: (2007高数二),当x0时, (1-cosx)2是 sin2x 的 ( ),(A)同阶但不是等价无穷小 (B) 等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小,练: (2008高数二),当x0时, sec
13、x-1是 的 ( ),(A) 高阶无穷小 (B)低阶无穷小 (C) 同阶但不是等价无穷小 (D) 等价无穷小,(6) 极限计算中的等价无穷小替换,定理 设 时,则,常见的等价无穷小:,当 时,例6 求,(n, m 为正整数),三、连 续,1. 函数连续的概念 2. 函数在一点处连续的性质 3. 闭区间上连续函数的性质 4. 初等函数的连续性,函数(x) 在 x0 处连续的充分必要条件是:,定义,1. 函数连续的概念,定义 若函数 (x) 在开区间 (a , b) 内的每一点都连续, 则称函数 (x) 在开区间 (a , b) 内连续.,若函数(x)在开区间 (a , b) 内连续, 且在左端点
14、 a 右连续, 在右端点 b 左连续, 则称函数 (x) 在闭区间a , b 上连续.,函数的间断点,函数间断点的类型, 即 的类型:,第一类间断点:,左右极限都存在的间断点.,可去间断点:,跳跃间断点:,第二类间断点:,左右极限中至少有一个不存在的间断点.,第一类间断点:,左右极限都存在的间断点.,可去间断点:,跳跃间断点:,第二类间断点:,左右极限中至少有一个不存在的间断点.,无穷型间断点:,振荡型间断点:,根据间断点的不同特点可分为:,至少有一个是,至少有一个不存在且不是,所以 x = 0 是 f(x) 的可去间断点.,例:,因为,所以 x = 0 是 f(x) 的跳跃间断点.,例:,在
15、 x = 1 处没有定义, 且,所以 x=1是 f(x) 的第二类间断点.,因为,例7 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类?,练: (2006高数一),练: (2007高数二),练: (2007高数一),设,则 x=1 是 f(x) 的 ( ),连续点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷间断点 (D) 振荡间断点,(1) 连续函数的复合函数仍是连续函数.,2. 函数在一点处连续的性质,(2) 基本初等函数在定义域内连续.,(1) 连续函数的复合函数仍是连续函数.,2. 函数在一点处连续的性质,(2) 基本初等函数在定义域内连续.,(3) 初等函数在其定义区间内连续.,例:,练: (2005高数二),例10 求下列极限,例 11 设,求a, 使f(x)在 上连续.,练: (2008年高数二),练: (2006年高数
