《线形代数__第一章_矩阵》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线形代数__第一章_矩阵（186页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章 矩阵,1.1 矩阵的基本概念,一. 历史,“矩阵 (matrix)” 这个 词首先是英国数学家 西尔维斯特使用的.,他为了将数字的矩形 阵列区别于 行 列 式 (determinant)而发明 了这个述语., 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7,英国数学家凯莱 被公认为是矩阵 论的创立者.,他首先把矩阵作为一个独立的数学概念, 并发表了一系列关于这个题目的文章.,第一章 矩阵,1.1 矩阵概念,例1. 某厂家向A, B, C三个商场发送四款产品.,第一章 矩阵,1.1 矩阵概念,甲 乙 丙 丁,单价,重量,二. 实例,第一章 矩阵,1.1 矩阵概念,例2. 四个城市间的单向
2、航线如图所示.,若用aij表示从i市到j市航线的条数, 则上图信息可表示为,三. 定义,1. mn矩阵,元素(element/entry) aij (1 i m, 1 j n),注: 今后除非特别说明, 我们所考虑的矩阵都 是实矩阵.,第一章 矩阵,1.1 矩阵概念,元素都是实数实矩阵(real ),元素都是复数复矩阵(complex ),第一章 矩阵,1.1 矩阵概念,3. 向量(vector),行向量(column vector) a1, a2, , an,列向量(row vector),第i分量 (ith component) ai (i = 1, , n),n阶方阵: nn矩阵,2.
3、方阵(square matrix),见例2.,一个11的矩阵 就是一个数,（行矩阵）,（列矩阵）,第一章 矩阵,1.1 矩阵概念,4. 同型(same-sized): 行数相等, 列数也相等.,5. 两个矩阵相等(equal),与,同型,与,不同型,A = aijmn与B = bijmn相等:,对1 i m, 1 j n, aij = bij都成立，,记为A = B.,大前提: 同型,第一章 矩阵,1.1 矩阵概念,四. 几种特殊的矩阵,1. 对称矩阵(symmetric matrix),则称A为对称矩阵.,若矩阵A = aijmn满足:,m = n且aij = aji (i, j = 1,
4、2, , n),第一章 矩阵,1.1 矩阵概念,2. 对角矩阵(diagonal matrix),主对角线.,对角矩阵,diag1, 2, , n.,(leading/main/principal diagonal),第一章 矩阵,1.1 矩阵概念,3. 数量矩阵/纯量矩阵(scalar matrix),diagk, k, , k数量矩阵/纯量矩阵.,4. 单位矩阵(identity matrix),称为n阶单位矩阵.,例如:,第一章 矩阵,1.1 矩阵概念,5. 反对称矩阵,则称A为反对称矩阵(antisymmetric matrix/,若矩阵A = aijmn满足:,m = n且aij =
5、 aji (i, j = 1, 2, , n),skewsymmetric matrix).,第一章 矩阵,1.1 矩阵概念,6. 零矩阵(zero matrix),有时, 加下标指明其阶数或行数与列数.,通常用O表示零矩阵.,例如, 上述零矩阵分别可以记为:,O2, O23, O3.,零矩阵元素全为零.,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,1.2 矩阵的基本运算,一. 矩阵的线性运算,1. 加法(addition of matrices),第一次,第二次,两次累计:,例3.,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,1.2 矩阵的基本运算,一. 矩阵的线性运算,1. 加法(addition o
6、f matrices),第一次,第二次,两次累计:,420,例3.,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,1.2 矩阵的基本运算,一. 矩阵的线性运算,1. 加法(addition of matrices),第一次,第二次,两次累计:,420,365,例3.,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,1.2 矩阵的基本运算,一. 矩阵的线性运算,1. 加法(addition of matrices),第一次,第二次,两次累计:,420,365,390,例3.,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,1.2 矩阵的基本运算,一. 矩阵的线性运算,1. 加法(addition of matrices),
7、第一次,第二次,两次累计:,420,365,390,205,例3.,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,1.2 矩阵的基本运算,一. 矩阵的线性运算,1. 加法(addition of matrices),第一次,第二次,两次累计:,420,365,390,205,240,例3.,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,1.2 矩阵的基本运算,一. 矩阵的线性运算,1. 加法(addition of matrices),420,365,390,205,240,210,200,180,190,100,120,100,220,185,200,105,120,110,(1) 大前提: 同类型,(2)
8、 具体操作: 对应元素相加,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,1.2 矩阵的基本运算,一. 矩阵的线性运算,1. 加法(addition of matrices),A = aijmn与B = bijmn的和(sum): C = cijmn = aij+bijmn.,注: 设矩阵A = (aij)mn , 记A = (aij)mn , A的负矩阵(additive inverse of A)., 设A, B是同型矩阵, 则它们的差 (subtraction)定义为A + (B). 记为AB. 即 A B = A + (B).,记为 C = A + B,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,2
9、. 数乘(scalar multiplication),设矩阵A = (aij)mn , 数k与A的乘积定义为 (kaij)mn , 记为kA或Ak.,注: 矩阵的线性运算(linear operation),第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,3. 性质,设A, B, C, O是同型矩阵, k, l是数, 则,(1) A + B = B + A, (2) (A + B) + C = A + (B + C), (3) A + O = A, (4) A + (A) = O, (5) 1A = A, (6) k(lA) = (kl)A, (7) (k + l)A = kA + lA, (8) k
10、(A + B) = kA + kB.,练习：1. 设,(1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算, 并求 其和, 哪些不能进行加法运算, 说明原因; (2) 求 C 的负矩阵.,1.2 矩阵的基本运算,第一章 矩阵,2. 设,且,求矩阵 X .,1.2 矩阵的基本运算,第一章 矩阵,二. 矩阵的乘积(matrix-multiplicative product),例4. 某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.,20200 +50100 +30150 +25180,18000,18150,16750,10480,10240,9680,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,第一章 矩阵,1.2
11、矩阵的基本运算,例5. 四个城市间的单向航线如图所示. 若aij表示从i市直达j市航线的条数, 则右图可用矩阵表示为,从i市经一次中转到达j市航线的条数=?,a11a11,a12a21,a13a31,a14a41,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,a21a13,a22a23,a23a33,a24a43,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,例5. 四个城市间的单向航线如图所示. 若aij表示从i市直达j市航线的条数, 则右图可用矩阵表示为,bij = ai1a1j + ai2a2j + ai3a3j + ai4a4j .,从i市经一次中转到达j市航线的
12、条数=?,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,1. 定义A = (aij)ms与B =(bij)sn的乘积(product) 是一个mn矩阵C = (cij)mn , 其中,记为C = AB. 称AB为“以A左乘B” 或 “以B 右乘A”.,a11b11+a12b21+a13b31,a11b12+a12b22+a13b32,a21b11+a22b21+a23b31,a21b12+a22b22+a23b32,练习 已知,求 AB.,1.2 矩阵的基本运算,第一章 矩阵,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,2. 矩阵乘积的特殊性 (1)只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时, 乘积AB才有意义.
13、 (2)若A是一个mn矩阵, 与B是一个nm矩阵, 则AB和BA都有意义. 但AB是一个m阶方 阵, BA是一个n阶方阵. 当m n时, AB 与 BA谈不上相等不相等. 即使m = n, AB与BA是同阶方阵也未必相. 例如:,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,(3)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.如,(4)矩阵的乘法不满足消去律,即如果AB = CB, B 0, 不一定能推出 A = C.,但 A C .,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,设k是数, 矩阵A, B, C 使以下各式中一端 有意义, 则另一端也有意义并且等式成立:,(1) (AB
14、)C = A(BC), (2) A(B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC+BC, (3) (kA)B = k(AB).,3. 性质,4. 方阵A的正整数幂(power),A1 = A, A2 = AA, , Ak+1 = AkA.,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,AkAl = Ak+l, (Ak)l = Akl,(AB)k = AkBk,注: 若AB = BA, 则(AB)k = AkBk.,AB BA, 但(AB)k = AkBk成立.,容易验证,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,(AB)k = AkBk, 要说明即使A与B是同阶方阵,也未必成立, 只要举出一个反
15、例即可.,当然这里AB BA,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算, 结合律的妙用之一,设A = BC,(还有“妙用之二”喔!),A100 =,?,1,2,3,2,4,6,3,6,9,= 11 + 22 + 33,= 14.,A100 = (BC)(BC)(BC)(BC)(BC)(BC),= B(CB)(BC)CB(CB)(CB)C,练习：设,计算 A2, A3, An (n3).,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,三. 矩阵的转置,的转置(transpose), ,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,矩阵的转置运算满足如下性质,(1) (AT)T = A, (2) (A+B)T = AT + BT, (3) (kA)T = kAT, (4) (AB)T = BTAT.,2. 性质,注: A是对称矩阵 AT = A;, A是反对称矩阵 AT = A;,(A+AT)T = A+AT,(AAT)T = (AAT), ?,练习 1
