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1、2.1 高斯消元法.,用高斯消元法解线性方程组，这一过程可在方程组的,系数矩阵或增广矩阵上实现，将系数矩阵或增广矩阵,行阶梯形矩阵：,可画出一条阶梯线，其下方全部为 0,每个台阶只有一行，台阶数为非零行,的行数，,阶梯线后面的第一个元素为,非零元.,化为行阶梯形矩阵，再进一步化为行最简形矩阵。,行简化阶梯形矩阵：,每个非零行的第一个非零元为1，,而且该非零元所在列的其余元素,全为0.,将增广矩阵（A b）化为阶梯形矩阵时，其形式不唯一，,但非零行的行数唯一.,所用步骤：,（1）交换两行；,（2）某一行乘以非零数 k；,（3）将某一行乘以数 k 加到另一行上.,当未知数的个数大于有效方程的个数（
2、即行阶梯形矩阵,中非零行的行数）时，有自由未知量，自由未知量可以,取任意值.,自由未知量的选取不是唯一的，但其个数,是唯一的.,一般取每个非零行的第一个非零元对应的未知量为基本,未知量，其余的为自由未知量.,例. 求解线性方程组,解：,这一行说明有矛盾 方程，故无解！,不相容方程组：,含有矛盾方程从而无解的方程组,相容方程组：,有解的方程组,一般地，对于线性方程组,假设通过高斯消元法将其增广矩阵化为,其中,那么,（1）方程组有解,（2）在有解的情况下：,（I）,若 r = n, 则方程组有唯一解：,（II）,若 r n, 则方程组有无穷多解：,取,可得方程组的解为,若方程组为齐次方程组，那么,
3、方程组一定有解.,（I）,若 r = n, 则方程组有唯一解：,（II）,若 r n, 则方程组有无穷多解：,取,可得方程组的解为,特别地，若齐次方程组中方程的个数小于未知数的个数，,那么方程组一定有无穷多解.,2.2 矩阵的加法 数量乘法 乘法,一、矩阵的有关概念,1. 矩阵的定义,定义: 由mn个数 aij ( i =1, 2, , m; j =1, 2, , n ) 排成的 m 行 n 列的数表:,称为m行n列的矩阵. 简称 mn 矩阵. 记作,简记为: A = Amn = ( aij )mn = ( aij ). 这mn个数aij称为矩阵A的(第 i 行第 j 列)元素.,矩阵与行列式
4、有本质的区别, 行列式是一个算式, 其行数和列数相同，一个数字行列式经过计算 可求得其值, 而矩阵仅仅是一个数表, 它的行数和 列数可以不同.,元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.,例如:,是一个24实矩阵;,是一个33复矩阵;,是一个14(实)矩阵;,是一个31(实)矩阵;,是一个11(实)矩阵.,3. 几种特殊矩阵,(1) 行数与列数都等于n的矩阵A, 称为n 阶方阵. 也可记作 An,对于方阵，可以计算其行列式，但要注意：,方阵和方阵的行列式是不同的含义.,(或对角阵), 其中1, 2, , n不全为零. 记作 = diag(1, 2, , n),(3) 如果In=
5、 diag(1, 2, , n) = diag(1, 1, , 1), 则称 In 为( n 阶)单位矩阵, 或简称单位阵. 简记为 I（或者E）.,(4) 只有一行(列)的矩阵称为行(列)矩阵(或行(列)向量).,如果A= diag(1, 2, , n) = diag(k, k, , k),（k不为0） 则称 A为( n 阶)数量矩阵, 记为 k I（或者 k E）.,(5) 元素全为零的矩阵称为零矩阵, mn 阶零矩阵 记作 Omn 或 O.,AO,|A| = 0,|A| = 0,AO,若 |A| = 0, 称 A 为奇异矩阵；,对于 n 阶方阵 O,例1: 设,解: 由于矩阵A =B,
6、则由矩阵相等的定义,已知A =B, 求x, y, z.,x=2, y=3, z=2.,得:,2. 两个矩阵A = ( aij )与B = ( bij )为同型矩阵, 并且对应元素相等, 即 aij = bij ( i =1, 2, , m; j =1, 2, , n ) 则称矩阵A与B相等, 记作A=B.,4. 同型矩阵与矩阵相等的概念,1. 两个行列数对应相等的矩阵称为同型矩阵.,(1) 矩阵的概念: m行n列的数表,三、小结,(2) 特殊矩阵,方阵,行矩阵与列矩阵;,单位矩阵;,对角矩阵;,零矩阵.,思考题,矩阵与行列式有何区别?,思考题解答,二、矩阵的加法,定义: 设两个同型的 mn 矩
7、阵A = ( aij )与B = ( bij ), 那末矩阵A与B的和定义为(aij+bij), 记作A+B, 即,对应元素相加,例如:,说明: 只有当两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加法运算.,矩阵加法的运算规律,交换律: A+B = B+A. (2) 结合律: (A+B)+C = A+(B+C).,(4),称为矩阵A的负矩阵.,(5) A+(A) = O, AB = A+(B).,(3) A+O=A,三、数与矩阵相乘,定义: 数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij), 记作 A 或A, 简称为数乘. 即,注意：kA 与 k|A| 不同！,设A, B为同型的mn 矩阵, , 为数: 1
8、A=A. (2) ()A = (A). (3) (+)A = A+A. (4) (A+B) = A+B.,矩阵的数乘的运算规律,矩阵的加法与数乘运算, 统称为矩阵的线性运算.,定义: 设A = ( aij )是一个 ms 矩阵, B = ( bij )是一个 sn 矩阵, 定义矩阵A与矩阵B的乘积 C = ( cij )是一个 mn 矩阵, 其中,四、矩阵与矩阵相乘,( i=1,2, m; j=1,2, n ). 并把此乘积记作C=AB.,是 A 中的第 i 行元素与 B 中第 j 列的对应元素 相乘再相加.,例1:,例2:,当运算可行或作为运算结果时，一阶矩阵可以与数 等同看待！,例3: 求
9、AB, 其中,注意: 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时, 两个矩阵才能相乘.,矩阵乘法的运算规律,结合律: (AB)C = A(BC); 分配律: A(B+C) = AB+AC, (B+C)A =BA+CA; (3) (AB) = (A)B = A(B), 其中为数;,当 AB 有意义时，BA 可能无意义！,例如:,不存在.,有意义，但是,注意: （1）矩阵乘法一般不满足交换律, 即: AB BA，,因此要注意矩阵相乘的次序.,AB 和 BA都有意义时，它们可能不是同型矩阵.,例如：,是一阶方阵，但是,是三阶方阵.,即使 AB 和 BA都有意义，也是同型矩阵，它们,也可能不相等.
10、,例如: 设,AB BA.,当 AB BA 时，称 A 与 B 不可交换；,当 AB=BA 时，称 A 与 B 可交换，,(2) 矩阵的乘法一般不满足消去律，即,或,从上述例子还可以看到：,此时 A 与 B 必为同阶方阵。,若,但AB=O,则称 B 是 A 的右零因子， A 是 B 的左零因子.,特殊矩阵与矩阵相乘的有关结论：,单位矩阵在矩阵乘法中的作用相当于数 1 在数的,乘法中的作用.,若 A 为方阵，则有,数量矩阵 kI 乘矩阵 A 等于数 k 乘矩阵 A.,结论：n 阶数量矩阵与任意 n 阶矩阵可交换；与任,意 n 阶矩阵可交换的矩阵一定是 n 阶数量矩阵.,左乘 A 等于用,乘以A中
11、第 i 行的元素.,右乘 A 等于用,乘以A中第 i 列的元素.,若,则,例4: 计算下列矩阵乘积:,解:,a11x1+a21x2+a31x3,a12x1+a22x2+a32x3,a13x1+a23x2+a33x3,=(a11x1+a21x2+a31x3)x1+(a12x1+a22x2+a32x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3,当矩阵为对称矩阵时, 结果为,n 阶方阵,若当 i j 时，,则称 A 为上三角矩阵.,若当 ij 时，,则称 A 为下三角矩阵.,结论：两个上（下）三角矩阵的积仍然是上（下） 三角矩阵.,证明：设 A,B 是两个上三角矩阵，且C=AB,当 ij 时
12、,即 C为上三角矩阵.,五、方阵和方阵乘积的行列式,定义: 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做 方阵A 的行列式, 记作 | A | 或 detA .,例如:,则,方阵行列式的运算性质,| AT | = | A |; | kA | = kn| A |; (3) | AB | = | A | | B | = | B | | A | = | BA |.,矩阵的转置后面会定义,定理：设A、B是两个 n 阶方阵，则,思路：利用分块行列式的结论，行列式的性质6及矩阵乘法的定义.,简证：,对于同阶方阵A和B，一般AB BA ，但是|AB|=|BA|,重要例子,例5.,设,矩阵A的伴随矩阵 注意其元素
13、的下标,证：设,其中,于是,因此,因为,所以,从证明过程中可以得到：,记住该结论！,六、方阵的幂和方阵的多项式,定义2. 9,设 A 是 n 阶方阵，k 个 A 的连乘积称为 A 的,k 次幂，记作,即,当 m，k 为正整数时，有,只有方阵能定义幂,当AB不可交换时，一般,当AB可交换时，,定义2. 10 设,是 x 的 k 次多项式，A 是 n 阶方阵，则称,为方阵 A 的 n 次多项式.,若 f(x)，g(x) 为多项式，A、B为 n 阶方阵，则,f(A) g(A) = g(A) f(A),当 AB 不可交换时，一般,方阵A的多项式可以类似一般多项式一样相乘或分解因式.,例如,(I + A
14、)(2 I A) = 2 I + A A2, (I A)3 = I 3A + 3A2 A3.,因为数量矩阵 kI 与任意同阶方阵可交换，所以有,特别当矩阵为对角阵=diag(1, 2, n ) 时,则,()=a0I + a1 +amm,解:,例6:,由此归纳出,用数学归纳法证明. 当k=2时, 显然成立.,假设, 当k=n时结论成立, 对 k=n+1时,所以对于任意的 k 都有:,也可利用二项式定理展开计算.,七、矩阵的其它运算,定义: 把矩阵A 的行列互换, 所得到的新矩阵, 叫做矩阵A 的转置矩阵, 记作AT.,例如:,、转置矩阵,(1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = A
15、T + BT; (3) (A)T = AT; (4) (AB)T = BTAT;,转置矩阵的运算性质,一般地,证明（4）,设,首先容易看到,与,为同型矩阵.,因为,所以,的第 i 行第 j 列,的元素为,又因为,中第 i 行的元素为 B 中第 i 列的元素,中第 j 列的元素为 A 中第 j 行的元素,于是,的第 i 行第 j 列元素为,故,解法1: 因为,所以,解法2:,(AB)T=BTAT,例8：设,（1）,的第 i 行第 j 列的元素为,（2）,的第 i 行第 j 列的元素为,（3）,的第 i 行第 j 列的元素为,设A = ( aij )为 n 阶方阵, 对任意 i, j, 如果aij = aji 都成立, 则称A为对称矩阵; 如果aij = aji 都成立, 则称 A为反对称矩阵;,显然，若 A 是反对称矩阵，那么对任意 i，有,例如:,A为对称矩阵, B为反对称矩阵.,由矩阵转置和对称矩阵的定义可得:,方阵A 为对称矩阵的充分必要条件是: A=AT. 方阵A 为反对称矩阵的充分必要条件是: A=AT.,设A与B为对称矩阵，那么AB为对称矩阵的 充要条件是：,AB可交换.,证明: 因为,例9: 设列矩阵X = (x1 x2 xn)T, 满足XTX = 1, E为n 阶单位矩阵, H = E 2XXT, 证明: H为对称矩阵, 且HHT = E
