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1、第七章 二 次 型,在解析几何中, 为了研究二次曲线 ax2+bxy+cy2=1 的几何性质, 可选择适当的坐标旋转变换,把方程化成只含平方项的标准形,上述坐标旋转变换是正交变换, 正交变换是保范变换, 从而保持曲线形状不变. 所以可通过化曲线为标准形式来研究曲线形状.,1 二次型与合同变换,一. 二次型的定义和矩阵表示,定义7.1 n个变量x1, x2, xn的二次齐次函数,(x1,x2,xn)=a11x12+a22x22+annxn2+ 2a12x1x2+2a13x1x3+2an-1,nxn-1xn.,称为一个n元二次型, 简称二次型. 当系数aij均为实数时称为n元实二次型. 以下仅讨论
2、实二次型.,把2aijxixj写成aijxixj+ajixjxi ,其中aij=aji , 则有,(x1,x2,xn)=a11x12+a12x1x2+a1nx1xn+a21x2x1+a22x22+ +a2nx2xn+an1xnx1+an2xnx2+annxn2,或写成矩阵乘法形式,若记,则有,定义7.2 =xTAx称为n元二次型的矩阵表示式, 实对称矩阵A称为二次型的矩阵, 称为对实称矩阵A的二次型. 矩阵A的秩也称为二次型的秩.,例如, 二次型=2x2+3y2-z2+4xy-6xz 的矩阵为,于是,反之, 实对称矩阵,定义7.3 仅含平方项的二次型,的二次型为=x12+2x22 x32 +4
3、x1x2+2x1x32x2x3,f=d1x12+d2x22+dnxn2,称为标准形.,可见, 标准形的矩阵为对角矩阵.,若记x=(x1, x2, , xn)T, y=(y1, y2, , yn)T, C=(cij)nn,则称: x=Cy, 即,为从x1, x2, , xn到y1, y2, , yn的线性变换. 其中cij为线性变换的系数, C称为线性变换的系数矩阵.,当C为可逆矩阵时, x=Cy称为可逆线性变换, 这时y=C-1x为x=Cy的逆变换, 当C为正交矩阵时, x=Cy称为正交变换.,对n元二次型=xTAx作变换x=Cy, 则有,=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)y=
4、yTBy,即, 成为y1, y2, , yn的n元二次型, 其矩阵为B=CTAC.,定理7.1 线性变换下, 二次型仍变为二次型. 可逆线性变换下, 二次型的秩不变.,二. 方阵的合同变换,经可逆线性变换x=Cy, f的矩阵A变为B=CTAC.,定义7.4 设A, B为同阶方阵, 如果存在可逆矩阵C, 使得B=CTAC, 则称A与B是合同的, 记为AB.,对方阵A的运算CTAC, 称为对A的合同变换, 并称C为把A变为B的合同变换矩阵.,矩阵的合同关系具有性质:,()反身性: AA ; ()对称性: 若AB, 则BA ;,()传递性: 若AB, BC , 则AC .,实际上, R(B)=R(C
5、TAC)R(A), R(A)=R(CT)-1BC-1)R(B),所以R(A)=R(B).,由于矩阵C可逆,记C=P1P2Ps(P1,P2,Ps为初等方阵),则有: B=PsTPs-1TP1TAP1P2Ps.,可见, 若A与B是合同的, 则A可经过一系列初等行变换和完全相同的初等列变换变成矩阵B.,所以, 若A与B合同, 则A与B等价, 而且它们的秩相等.,但是等价矩阵不一定是合同的.,而且, 合同矩阵不一定是相似的; 相似矩阵也不一定是合同的. 但正交相似的矩阵一定是相似的. 进一步相似的实对称矩阵一定是合同的.,2 用正交变换化二次型为标准形,若使n元二次型,化为标准形:,只要可逆线性变换x
6、=Py, 满足=P-1AP.,由于矩阵A是实对称矩阵, 所以有:,定理7.2 任意二次型=xTAx都可经正交变换x=Py化为标准形=yTy, 其中的对角线元素恰是A的特征值.,可见, 用正交变换化二次型为标准形与实对称矩阵对角化的步骤几乎是一致的.,例1 用正交变换化二次型,(x1, x2, x3)=3x12+3x22 +2x1x2+4x1x34x2x3,为标准形, 并给出所用的正交变换.,解 二次型的矩阵为,A的特征多项式为,=(-4)(2-2-8)=(-4)2(+2),所以, 矩阵A的特征值为1=2=4, 3=-2. 由于,于是, 方程组(4E-A)x=0的一个基础解系可取为:,又由于,所
7、以得属于3=-2的单位特征向量,故可取正交矩阵,作正交变换: x=Qy , 即,二次型(x1, x2, x3)=3x12+3x22 +2x1x2+4x1x34x2x3变为,若取正交矩阵Q=(1, 3, 2), 作正交变换x=Qy, 则有,(x1, x2, x3)=4y12+4y222y32,(x1, x2, x3)=4y12 2y22+4y32,若取正交矩阵Q=(3, 1, 2), 作正交变换x=Qy, 则有,(x1, x2, x3)= 2y12 +4y22+4y32,3 用配方法化二次型为标准形,本节介绍利用配方法构造一般的可逆线性变换(不一定是正交变换)化二次型为标准形的方法.,我们只用几
8、个例子来说明配方法.,可见, 化二次型为标准形所用的正交变换以及标准形都不是唯一的.,但是, 正交变换对应的标准形中, 各项系数恰是矩阵A的所有特征值, 因此除顺序外是唯一的.,例2 求一可逆线性变换化二次型,(x1, x2, x3)=3x12+3x22 +2x1x2+4x1x34x2x3,为标准形, 并给出所用的线性变换.,解 由于这里含有x12项, 首先把所有含有x1的项集中,起来配成完全平方, 使配方后其余项中不再含x1. 即,(x1, x2, x3)=3x12+3x22 +2x1x2+4x1x34x2x3,可见, 只要作变换:,=(3x12+2x1x2+4x1x3)+3x22 4x2x
9、3,=3(x12+2/3x1x2+4/3x1x3+1/9x22 +4/9x32 +4/9x2x3),+3x22 4x2x3 1/3x22 4/3x32 4/3x2x3,=3(x1+1/3x2+2/3x3)2+8/3x22 4/3x32 16/3x2x3,=3(x1+1/3x2+2/3x3)2+8/3(x22 2x2x3+x32) 4x32,=3(x1+1/3x2+2/3x3)2+8/3(x2 x3)2 4x32,二次型(x1, x2, x3)=3x12+3x22 +2x1x2+4x1x34x2x3变为,所用的线性变换x=Cy的矩阵,(x1, x2, x3)=3y12+8/3y224y32,显然
10、, C是可逆矩阵.,例3 求一可逆线性变换化二次型,(x1, x2, x3)=x22 + 2x1x2+x1x34x2x3,为标准形, 并给出所用的线性变换.,解 由于这里不含x12项, 但含x22项, 则先对x2配方:,只要作线性变换:,(x1, x2, x3)=x22 + 2x1x2+x1x34x2x3,=(x22+2x1x24x2x3+x12+4x324x1x3)x12 4x32+5x1x3,=(x2+x12x3)2(x125x1x3+25/4x32)+9/4x32,=(x2+x12x3)2(x15/2x3)2+9/4x32,二次型(x1, x2, x3)=x22 + 2x1x2+x1x3
11、4x2x3变为,所用的线性变换x=Cy的矩阵,(x1, x2, x3)=y12y22+9/4y32,显然, C是可逆矩阵.,例4 求一可逆线性变换化二次型,(x1, x2, x3)=2x1x2+x1x35x2x3,为标准形, 并给出所用的线性变换.,解 由于这里不含有平方项, 首先作变换,则有,(x1, x2, x3)=2y12 2y22 4y1y36y2y3,然后再用配方法逐项配方, 则有,(x1, x2, x3)=2y12 2y22 4y1y36y2y3,只要作变换:,(x1, x2, x3)=2z12 2z22 +5/2z32,原二次型化为,=2(y122y1y3 +y32)2y22 2
12、y32 6y2y3,=2(y1y3)22(y22 +3y2y3+9/4y32)+5/2y32,=2(y1y3)22(y2+3/2y3)2+5/2y32,由前三例可见, 用配方法化二次型为标准形步骤为:,定理7.3 任意实二次型都可经可逆线性变换化为标准形.,把二次型化为含有平方项, 再进行配方.,二次型中含有平方项xi2, 则把所有含xi的项集中配方;,二次型中不含平方, 但含xi xj项, 则先作可逆线性变换:,推论 任意实对称矩阵都合同于一个对角矩阵.,作 业,习题A 第134页,1 、2、(1), (2) 3、 (1), (2),练习题,习题B 第100页,1、 2、 3 、,3 正定二
13、次型,一. 惯性定理与正定二次型,由于用配方法将二次型化为标准形可采用不同的配方方法, 所以所用可逆线性变换以及标准形都不唯一.,进一步, 如对标准形=3y12+8/3y224y32, 作变换,则有, =z12+z22z32.,但是, 由于R(A)=R(), 所以标准形中非零项数是唯一的(非零项数恰是R().,可见, 只要作实线性变换, 二次型标准形中系数的符号是不改变的. 所以有,=1y12+ 2y22+ryr2 (i0),则1, 2, , r中正数个数与1, 2, r中正数个数相同.,定理7.4(惯性定理) 设实二次型=xTAx, 其秩为r, 在不同的可逆线性变换x=Cy和x=Dz下化为标
14、准形,=1z12+2z22+rzr2 (i0),定义7.5 的标准形中的正系数的个数称为的正惯性指数, 负系数的个数称为的负惯性指数.,定义7.6 如果x0, 都有=xTAx0(0(A0).,二. 正定二次型(正定矩阵)的判定,证明 设可逆线性变换x=Cy, 使(x)=(Cy)=iyi2,如果i0(i=1,2, n), 则x0, 由于y=C-1x0, 故0.,定理7.5 n元实二次型=xTAx为正定(负定)二次型的充分必要条件是的正(负)惯性指数等于n.,如果正定, 设某个i0, 则取y=ei, 则x=Cei 0, 有(x)=(Cei)=iyi2 0, 矛盾. 所以i0(i=1,2, n).,
15、推论 n阶实对称矩阵A正定(负定)的充分必要条件是A的n个特征值都是正数(负数).,称为矩阵A的第i个顺序主子式.,定义7.7 设A=(aij)nn, 则行列式,显然, D1=a11, Dn=detA.,定理7.8 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的所有顺序主子式都大于0. A负定的充分必要条件是A的所有奇数阶顺序主子式都小于0, 偶数阶顺序主子式都大于0.,解 (1)用配方法(标准形法):,例5 判断下列二次型的正定性.,(1) (x1, x2, x3)=x12+2x22+5x32 +2x1x2+2x1x3+6x2x3,(2) (x1, x2, x3)=2x12+3x22+3x32+4x2x3,(3) (x1, x2, x3)=-5x12-6x22 -4x32 +4x1x2+4x1x3,(x1, x2, x3)=x12+2x22+5x32 +2x1x2+2x1x3+6x2x3,=(x12+2x1x2+2x1x3+2x2x3+x22+x32)+4x2x3+x22+4x32,=(x1+x2+x3)2+(x22 +4x2x3 +4x32),=(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2,=y12+y22,所以, (x1, x2, x3)是不定二次型.,
