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1、设4维向量组,问为何值时1,2,3, 4线性相关?当1,2,3, 4线性相关时, 求其一个极大线性无关组,并将其余量用该极大线性无关组线性表出.,课 堂 练 习,课堂练习答案,解 由于,所以, a=0或a=-10时, 1, 2, 3, 4线性相关.,a=0时, 由于,此时R(A)=1, 1是一个极大线性无关组, 且有,2=21, 3=31, 4=41,a=-10时, 由于,可见, 此时R(A)=3 , 1,2,3是一个极大线性无关组, 且,4=-1-2-3.,第四章 线性方程组,本章主要介绍线性方程组解的基本理论.,1 消 元 法,一线性方程组,如果b1=b2=bm=0, 则称(4.1)为齐次
2、线性方程组,否则，称(4.1)为非齐次线性方程组.,线性方程组的一般形式为,若记,称A为线性方程组的系数矩阵， 为方程组的常向量，(A)为方程组的增广矩阵.,则，线性方程组(4.1)可写成矩阵形式,Ax,若记,如果(x1, x2,xn)=(c1, c2,cn)满足方程组(4.1), 则称(c1, c2,cn)是方程组(4.1)的一个解向量, 简称一个解.,则，线性方程组(4.1)也可写成向量形式,x11+x22+xnn,可见，方程组(4.1)有解就是可由1, 2, n线性表示; 齐次方程组有非零解就是1, 2, n线性相关.,解线性方程组, 就是求其解的集合, 若两线性方程组解集合相同，称这两
3、个线性方程组同解.,二消元法,解 互换第一，第三方程位置，用1/2乘第二个方程,例1 解线性方程组,第二个方程减第一个方程的2倍，第三个方程减第一个方程的3倍,第三个方程减第二个方程2倍, 第一个方程减第二个方程,于是解为,例1的求解方法称为消元法，消元过程就是对线性方程组进行下列三种变换:,这三种变换称为线性方程组的初等变换. 易见, 线性方程组经过初等变换解不变.,1. 互换两个方程的位置;,对线性方程组进行初等变换也可对增广矩阵作初等行变换来实现. 例如，例1的消元过程可写成,2. 用非零常数乘某个方程;,3. 将某个方程的倍数加到另一个方程.,只要求解阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组即
4、可.,也就是说, 对增广矩阵进行初等行变换线性方程组解不变.,所以, 所谓消元法就是对线性方程组增广矩阵进行初等行变换，将其化成阶梯形矩阵，然后再求解相应的线性方程组即可.,一般地, 用消元法求解线性方程组(4.1), 不妨设,所以, 阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组为,则, 线性方程组(4.2)与解线性方程组(4.1)同解. 于是,当dr+10时, 线性方程组(4.2)无解, 因此(4.1)无解;,当dr+1=0时, 线性方程组(4.2)有解, 因此(4.1)有解.,定理4.1 线性方程组(4.1)有解R(A)=R(A).,R(A)=R(A)=n时，线性方程组(4.1)有唯一解:,定理4.2
5、 R(A)=R(A)=n时线性方程组(4.1)有唯一解, R(A)=R(A)n时线性方程组(4.1)有无穷多解.,R(A)=R(A)n时，线性方程组(4.1)有无穷多解:,例2 解线性方程组,解,可见, R(A)=2, R(A)=3.,所以, 方程组无解.,的线性相关性，并求其一个极大线性无关组，把不属于极大线性无关组的向量用极大线性无关组线性表示,例 讨论向量组,解 由于,所以， 线性相关,是一个极大线性无关组且有,实际上，由于,可知,2 齐次线性方程组,设齐次线性方程组,如果R(A)=n, 则齐次线性方程组(4.3)有唯一解，即(x1, x2,xn)=(0,0,0), 称之为线性方程组(4
6、.3)的零解;,由定理4.1和定理4.2知:,如果R(A)n, 则 (4.3)有无穷多解, 当然有非零解.,定理4.3 齐次线性方程组(4.3)有非零解R(A)n.,设V是n元齐次线性方程组Ax=0的解集合, 即,定理4.4说明集合V对向量的线性运算是封闭的. 也就是说齐次线性方程组的任意解的线性组合还是解, 而且齐次线性方程组的任意解都可以由向量组V的极大线性无关组线性表示.,V=|A=0, Rn,V的极大线性无关组就称为方程组的基础解系.,定理4.4 齐次线性方程组的解具有性质:,其中Rn表示所有n维实向量组成的集合.,1. 如果1, 2V, 则1+2V ;,2. 如果V, kR, 则kV
7、 ;,定理4.4说明集合V对向量的线性运算是封闭的. 也就是说齐次线性方程组的任意解的线性组合还是解, 而且齐次线性方程组的任意解都可以由向量组V的极大线性无关组线性表示.,那么, 1, 2 , s称为Ax=0的一个基础解系.,定义4.1 向量组V的一个极大线性无关组称为齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系. 也就是说, 设1, 2 , s是齐次线性方程组Ax=0的一组解, 如果,1. 1, 2 , s线性无关 ;,2. Ax=0的任意解都可由1, 2 , s线性表示,证明 由于R(A)=r, 不妨设方程组(4.3)等价于,定理4.5 对n元齐次线性方程组Ax=0, 如果R(A)=r n, 则
8、它有基础解系, 且基础解系含有n-r个解向量.,如果1, 2 , s是Ax=0的一个基础解系, 则Ax=0的全部解(通解)为:,c11+c22+css, 其中c1, c2, ,cs是任意常数,即,V=c11+c22+css|c1, c2, ,cs是任意常数,于是得到方程组(4.4)(也就是(4.3)的n-r个解向量,分别取,由(4.4)解得,显然, 1, 2 , n-r线性无关.,设=(c1,c2,cr,cr+1,cr+2,cn)T是(4.3)的任一解, 则,cr+1 1+cr+2 2+cnn-r- 是(4.3)的一个解,而且,由方程组(4.4)可得: d1=d2=dr=0, 即,cr+1 1
9、+cr+2 2+cnn-r- =(d1,d2,dr,0,0,0)T,cr+1 1+cr+2 2+cnn-r- =0,也就是, = cr+1 1+cr+2 2+cnn-r,所以, 能由 1, 2, , n-r线性表示, 故1, 2, , n-r是齐次线性方程组(4.3)的一个基础解系.,例3 求齐次线性方程组,的通解.,解,可见R(A)=3, 故基础解系含有2个解向量, 且原方程组等价于,分别取,可得方程组的基础解系:,所以, 方程组的通解是: x=c11+c22其中c1, c2是任意常数.,注意: 也可以直接由方程组: 得解:,写成向量形式就是:,也可以将解写成:,写成向量形式就是:,也可以取
10、成,例4 取何值时, 齐次线性方程组,有非零解? 并在有非零解时求它的一个基础解系.,解,可见, 2时, R(A)=3, 方程组只有零解; =2时, R(A)=23, 方程组有非零解, 此时等价方程组为:,取x3=1, 得一个基础解系为:,例5 取何值时, 齐次线性方程组,有非零解? 并在有非零解时求它的通解.,解,-3, 且1时, R(A)=4, 方程组只有零解.,通解为,=1时, R(A)=1, 此时方程组等价于,通解为: x=c 1 , c是任意常数.,=-3时, 有,基础解系为: 1=(1, 1, 1, 1)T,作 业,习题A 第77页,1 (1), (3), (4)、7、9、10,练
11、习题,习题B 第79页,4、 5、 6 、10,3 非齐次线性方程组,本节主要讨论非齐次线性方程组解的结构.,定理4.6 非齐次线性方程组的解具有性质:,给定非齐次线性方程组,1. (4.5)的任意两个解的差是其导出组(4.6)的解;,Ax= (4.5),则称齐次线性方程组,Ax=0 (4.6),为(4.5)对应的齐次线性方程组, 或(4.5)的导出组.,2. 如果是(4.5)的解, 是 (4.6)的解, 则+是(4.5)的解;,3. 如果0是(4.5)的一个解, 则 (4.5)的任意解可表示为:,=0+ , 其中是 (4.6)的一个解,证明: 1. A(1-2)=A1-A2=- =0,定理4
12、.7 对n元非齐次线性方程组Ax=, 设R(A)= R(A)=r. 若0是它的某个解, 1, 2, , n-r是Ax=0的一个基础解系, 则线性方程组Ax=的通解为,x=0+c11+c22+ +cn-rn-r,其中c1, c2, , cn-r是任意常数.,2. A(+)=A+A =0+=,3. 取=-0, 则 =0+,例6 求解线性方程组,解,可见, R(A)=R(A)=2, 故方程组有解, 同解方程组为,通解为,向量形式为,例7 , 取何值时, 线性方程组,无解?有唯一解?有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.,解,可见, =1, 2时, R(A)=4, R(A)=3, 无解.,1时, R(A)=R(A)=4, 有唯一解.,=1, =2时, R(A)=R(A)=3, 有无穷多解. 此时,于是, 方程组的通解为,或写成,作 业,习题A 第77页,2 (1), (2), (4)、3、4、5 、6、8,练习题,习题B 第79页,2、 3、 7 、8,
