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1、第一节 Fourier积分,一.Fourier级数 二.非周期函数的Fourier展开 三.Fourier积分定理,引言: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:,具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多 少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).,t,人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.,方波,4个正弦波的逼近,100个正弦波的逼近,预备知识:,1, 连续或只有有限个第一类间断点;,2, 只有有限个极值点,注:
2、这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.,一. Fourier级数,1.Dirichlet条件,若函数在区间-T/2,T/2上满足:,则称函数满足Dirichlet条件.,第一类间断点和第二类间断点的区别:,第二类间断点,第一类间断点,1. 研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期 内的情况即可, 通常研究在闭区间-T/2,T/2内 函数变化的情况.,说明:,并非理论上的所有周期函数都可以用Fourier 级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件.,2. Fourier级数的三角形式.,任何满足Dirichlet条件的周期函数fT(t), 在连续点处可表示为三角级数的形式如下
3、:,为求an, 计算fT(t), cosnwt, 即,同理, 为求bn, 计算fT(t), sin nwt, 即,3. Fourier级数的复指数形式,为了应用上的方便, 我们常需要将Fourier级数 的三角形式转化为复指数形式.,给定 fT(t), cn的计算如下:,如令wn=nw (n=0,1,2,.),则(1.1)式可以写为,Fourier级数的复指数形式,或者写为,非周期函数,二.非周期函数的Fourier展开,作周期为T的函数fT(t), 使其在-T/2,T/2之内等于f(t), 在-T/2,T/2之外按周期T延拓到整个数轴上.,则T越大, fT(t)与f(t)相等的范围也越大,
4、这就说明 当T时, 周期函数fT(t)便可转化为f(t), 即有,结论: 任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的.,如图,w,O w1 w2 w3 wn-1wn,所以上式又可写为,当t固定时,此时,很明显,这里,此公式称为函数 f(t)的Fourier积分公式.,由于,定理 若f(t)在(-, +)上满足条件:,三. Fourier积分定理,注意: 定理的条件是充分的.,复数形式,1, f(t)在任一有限区间上满足Dirichlet条件;,2, f(t)在无限区间(-, +)上绝对可积, 则有,(1.4)式也可以转化为三角形式,又考虑到积分,此为Fourier积分公式的三角形式.,Fourier正弦积分公式,类似的,Fourier余弦积分公式,解:,函数的图形为,1,-1,o,t,f(t),1,综上所述, 可得,即,注:Fourier积分表达式可以推证一些广义积分的结果.,如:,Dirichlet积分.,
