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1、有效数学教学 的课例研究,顾泠沅 上海市教育科学研究院,西方研究者认为，中国学习者的数学学习环境存在许多缺陷，尤其在教学方式上，属于典型的“被动灌输”和“机械训练” 单一讲授的上课方式，教师灌输，学生被动接受 班机规模大，一般超过40人，多至50人以上 低认知水平的频繁考试和高度竞争，造成教师、学生沉重负担 Ginsberg（1992）发表报告认为，中国的教学特点是“一个受尊敬的长者传输知识给处于服从地位的年少者” 从学生学业评价的角度来看，中国中小学教学具有明显的优势 海外的中国学生一般取得比其实际智商预期更好的成就 IEA（1992）的研究数据表明，中国大陆获得第一 IMO（国际数学奥林匹
2、克竞赛）中，中国队一贯名列前茅 Stevenson（1992）在学习的差距中揭示，美国学生的学习成绩明显低于中国甚至东亚学生，从1到11年级，这种差异明显存在,引言：从“中国人数学学习的悖论”谈起,教学水平,教学方式,教学内容,记忆,解释性理解,探究性理解,活动式,接受式,教学任务的三维结构,一、有效教学的两种方式,已有知识 新的知识 建立联系 合理 实质 奥苏贝尔： 知识固着点的性质 换一个形式检验 我国教师： 合适“潜在距离”的 严格的“变式训练” 铺垫是成功的奥秘 是有效手段,1.有意义的接受式教学 (注重知识和技能的学习),有层次推进隐喻：游泳 记忆、理解、探究三种水平 七种变式 课堂
3、教学的脚手架理论 ？理论,（1）选题背景,在数学教学中，学生要学习大量的性质定理、判定定理和公式等。以往的数学学习常常是老师“告诉”定理、公式，给出证明，然后通过练习做机械训练。学生感到枯燥乏味。如何激发学生提出和论证命题的兴趣、如何让从简单到复杂的变式练习成为学生解题能力的练兵场，是日常数学教学中值得关注的问题。 “（数学）早已广泛被人们承认为科学、工艺、商业和晋升各种专业的基础工具。这种目标会导致成人热衷于数学；但对于初步接触数学的幼龄学生，却是遥不可及。”（斯根普1971）,案例：等腰三角形的判定,（2）模式化的定理教学,复习性质定理、给出判定命题 师生进行思路分析 通过论证得出定理 应
4、用定理做练习,等腰三角形的两个底角相等,有两个角相等的三角形是等腰三角形,写成已知求证的形式： 已知：在ABC中，B=C. 求证：AB=AC,（3）用情境问题引发兴趣,如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？,学生的三种“补出”方法：,只剩一个底角和一条底边,量出C度数，画出BC， B与C的边相交得到顶点A,作BC边上的中垂线，与C的一边相交得到顶点A,画出的是否为等腰三角形，由此引发判定定理的证明,“对折”,（4）多种证法激活创造力,三种常规的办法：,两种创造性的证法：,作A的平分线，利用“角角边”,过A作BC边的垂线，利用“角角边”,作BC边上的中线，“边边角”不能证明,假定ABAC,由“大边
5、对大角”得出矛盾,ABCACB，应用“角边角”,（5）用变式练习分步解决问题,不断变换题目的条件：,ABC中，ABCACB，BO平分B，CO平分C。能得出什么结论？,过O作直线EFBC。图中有几个等腰三角形？为什么？线段EF与线段BE、FC之间有何关系？(学生编题),若B与C不相等。 图中有没有等腰三角形？为什么？线段EF与线段BE、FC之间还有没有关系？(学生讨论),直观看到一个，简单应用判定定理,必须综合应用判定定理和性质定理论证两个红色三角形以及线段间的关系,直观看到三个，两个红色三角形必须应用判定定理论证；线段关系用到性质定理。,（6）变式教学效果的试验研究,一位专家曾提出质疑，上述最
6、后一题是“总复习”中的难题，在“等腰三角形的判定”第一节课中作为练习，是否超越了学生的学习能力？事实上，运用变式作铺垫，可以明显提高练习的效率。后来专家们在普通学生的班中做了试验，同样取得很好效果。 我们曾对利用变式图形提高几何教学效果的经验，开展重复试验或轮换试验，结果差别具有显著或极其显著意义。,2.有意义的活动式教学 （注重学生的气质和能力）,已有“ 工具” （线索、细节、部分）,新的“ 任务” （问题解决、项目实施）,参与度,完成度,自行整合,开展尝试探究活动 是促进学生主动学习的重要策略,“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达” （礼记学记） 最有效的学习方法应是让学生在体验 和创造的过程中
7、学习,有理数减法： （+2）-（-3） = + 5 （-2）-（+3）= - 5 （-2）-（-5） = + 3 ,例.“ 有理数加减法”课（探索法则）,（-3）+（+5）= + 2 ,正数与负数相加： （+5）+（-3）= + 2 （-5）+（+3）= - 2 ,形成一种新型的课程实施形态,如课题研究、问题解决活动、项目学习等等，构成更鲜明的特征： 自主性（主动参与，主体地位，自我设计、组织和评价） 综合性（涉及各科各育，教育与锻炼） 评价的过程性（包括外显行为、内隐心理）,3.学习质量的两极张力,提高学生的学习质量是根本（两个源头、两种方式）,两种教学方式的分析讨论,两种学习方式在“提高学
8、习质量”的主题下，我们采纳“合理安排、取长补短”的策略，让两方的对峙变为改革过程中的两极张力 当前重在拒绝机械接受、开发主动探究的学习方式，教师们有引人注目的创造，如多角度理解、有层次推进、过程性变式、深度参与的体验等,真理在两个极端之间（两极张力）,“ 学而时习之，不亦说乎”,二、教学水平三分类,1.符合中国数学课堂特征的三水平,两个突出的问题值得引起关注,问题之一 许多本该达到解释水平的课，不少教师将此下降为记忆水平，“ 满堂灌”或“ 满堂问”（填空式问答，懂的要问、不懂的不问）；有的课把教学混同于学科习题机械训练和简单强化，思考力水平明显下降。 问题之二 许多正在实验探究水平的课，教师常
9、常通过解释或让学生记住最简捷的方法得出答案，“ 表面上像探究，实际上是讲解”，达不到学生亲自投入的思考力水平。,高思考力水平的保持与下降,保持1,探究,保持2,解释,记忆,下降2,下降1,下降3,高思考力水平得以保持有七个要素,给思维和推理“ 搭脚手架”； 为学生提供元认知方法； 示范高水平的操作行为； 维持对证明、解释或意义的强调； 任务建立在已有知识基础上； 在概念间建立联系； 适当的探索时间。,资料,国际学习科学领域三句名言：听来的忘得快，看到的记得住，做过的才能会。 我国教师：营造追问风气，变被动学习为主动学习。,高思考力水平下降的因素有六类,情境问题常规化（学生希望降低要求，教 师包
10、办代替）； 重点转移到追求答案的正确性与完整性， 不注重意义、理解、概念获得等方面； 时间过多或过少； 课堂管理问题； 给予学生的任务不恰当（指向不明或学生 缺乏兴趣）； 教师对学生低层次结果或过程迁就（如本 来要求学生解释思考过程，却接受了学生 不正确或不清晰的解释）。,资料,2. 通过案例研究提高有效教学的水平,教学水平的分类,课堂观察（保持下降） 探讨性对话,案例表述,分析与检讨反思与改进,课堂教学默会成份的显性化，成为可开发的教师学习资源,小学数学“有余数的除法” 7321,Freudenthal研究所的达朗其(Jan de Lange, 1996) 在ICME-8的大会报告中介绍了荷
11、兰的一堂课：81名家长出席学校家长会，每张桌子可坐6人，需要布置多少张桌子？第一类学生具体地摆桌子；第二类学生经历了摆桌子到形式计算的抽象；第三类学生套用现成算式去做。实际上，三类学生中只有第二类才真正体验到了“数学化”的含义。,（1）选题背景,案例1：“除法就是分豆子！”,（2）原行为阶段, 纠缠于区分等分除、包含除等枝节，未突出“有余数”这个要点 习惯于计算准确性的训练：3( ) 7，括号里最大能填几？ 未关注试商的实际意义 表面地寻找规律，学生都说“不知道”,关注自我的关键性事件： 重点放在程式化训练， 忘记了对小学生 来说“数学就是生活”。,（3）新设计阶段,关注理念的关键性事件： 运
12、用儿童生活经验，“除法就是分豆子”， 让学生真实地体验“数学化”的含义。,（4）新行为阶段,困难 做除法要“拿豆子来”，只会动手做、不会动脑想。课堂热热闹闹，却陷入了数学教学的浅薄与贫乏。 教师的创造 在实物与算式间设置一个中介放掉豆子和盘子，学生在脑中分豆子，终于越过了形式化的难关。,关注获得的关键性事件： 学生不会形式化，采用“脑中分豆子”， 才能解决从实物到符号的过渡。,“分豆子”与布鲁纳的认知理论,（5）实践创造与理论学习,让学生发现“余数比除数小”师生语言互动时间分布表,（6）课堂理念与行为发生改变,师生语言互动状况及其理念与行为的改变,课堂静止或不理解的时间、教师指示或命令、批评或
13、辩护权威行为，在改进课中下降为零；教师演讲、学生按老师要求表述，明显减少 教师的提问、学生主动表达自己的发现的语言，在改进课中明显增加；教师接纳学生感觉的语言，也有上升,（1）选题背景,勾股定理是数学教改的晴雨表：上一世纪五六十年代数学课程中的严格论证、后来提倡的“量一量、算一算”、之后的“告诉结论”、“做中学”，直到现在的探究式等。数学教学要培养学生的数学计算、数学论证乃至数学决策等三大能力，勾股定理教学正是一个恰当的例子。,a2+b2=c2,案例2：勾股定理能够被学生探究出来吗,（2）回顾原教学行为,欧几里德方法 (等积变形推导) 技巧难度太高,设置动手情境,“量一量、算一算” 得不出a2
14、+b2=c2,“剪一剪、拼一拼” 学生不会剪拼,提供勾股数组: 32+42=52 62+82=102,简化为铺地砖:,特殊情境成了直接暗示,无异于告诉事实,优秀教师不满足于以往的教学行为。查阅第3次国际数学与科学重复录像研究项目提供的12个勾股定理教学录像，没有获得满意的结果。 尝试新的教学设计，要点是： 目标在于体现“猜想证明”这种数学思想方法的本原性意义。 探究需要“铺垫”（有层次推进的策略）。就像学游泳，不能让所有学生都直接跳到海里，要有一定的背景知识和带关键性的技能、策略作铺垫。铺垫也称“脚手架”，为学生提供一种教学协助，帮助学生完成在现有能力下向高认知学习任务的难度攀升。,（3）在不
15、满中寻找出路,（4）情境铺垫出猜想, 问题: 直角三角形两条直角边和斜边之间有什么关系? a、bca+b （已有知识） 两边平方怎么样? a2、b2c2 铺垫: 在方格纸内斜放一个正方形ABCD，每个小方格的边长为单位1，怎样计算正方形ABCD的面积？,(a+b)2 a2+2ab+b2, 数据表：用前面的方法分别计算下列四个图形中的a2、b2 、2ab及c2的值，并填表。,学生的发现出乎意料：c2=2ab+1 a2+b2=c2 a+b+a2=b2 2ab+c2=(a+b)2等!,(5) 反驳与证明的师生对话,生1 根据数据表,我得出c2=2ab+1的结论。 师 很惊讶怎么会,不可能吧? 生2 我做过a=2,b=4的例子,这时2ab=16,c2=20,c22ab+1。 师 生2用举例来“反驳”,有说服力,c2=2ab+1这一结论不能成立。 生3 老师,当a与b相差1的时候,这个结论还是成立的。 师 心中想 c2=(a-b)2+2ab,b-a=1时,c2=2ab+1这个意见也是对的,这是一个有条件的结论。好,下面我们来看看另外一个结论a2+b2=c2。 生4 这个结论对前面已举过的图例来说都是成立的,但是我想,即使100个例子都正确,101个例子不成立了呢?所有例子都成立才是定理,只要有1个例
