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1、级数求和问题的研究 摘 要 收敛级数的求和问题是一个复杂多变的问题。本文通过利用数学分析、复变函 数、线性代数、组合数学等许多数学方面的知识，归纳总结了收敛级数（包括数项 级数和函数项级数）求和的若干的不同方法和技巧，包括利用傅立叶级数展开式求 和法、利用幂级数展开式求和法、利用欧拉公式法、利用交换求和顺序求和法、利 用列项消去法求和法、利用收敛级数定义求和法、利用部分和子列求和法、Abel 求 和法、利用逐项微分和逐项积分求和法、关于一类三角级数求和法、利用两个级数 的 Cauchy 乘积求和法、利用微分方程求和法以及 P 级变号级数求和法等许多方法， 并通过列举实例来说明这些求和方法和技巧
2、的应用。 本文还通过 matlab 数学软件工具给出了几个关于级数敛散性判别方法的程序 实现以及 matlab 在级数求和方面的相关内置函数应用的一些介绍。 我们相信这项工 作在理论上对提高有关级数理论方面的学习效果和相关数学竞赛是有许多帮助的。 关键词：关键词：级数，求和，收敛，matlab 级数求和问题的研究 Abstract It is not easy to get the sum of the convergent series. Based on Mathematical Analysis, Complex Vaniable Function, Linear Algebra and
3、 Combinatorial Mathematics and much mathematical knowledge, several different techniques and methods ( including the usage of the expansion of the Fourier series, the usage of the expansion of the power series, the usage of the Eulers formula, the usage of the exchanges of the order, the elimination
4、, the usage of the definition of the series , the Abel method, the usage of the differential and the integral summation for every items, the summation about one type of triangular series, the Cauchy product for two series, the usage of the differential equation, the usage of the p series and so on )
5、 to the sum of the different series ( numeral series and series of function ) are given, and the usage of the summations is illustrated further with some related examples. This article also gives some computer programs about some parts of the methods in the convergence of series with the mathematica
6、l soft tools matlab and the introduction of the usage of some built-in functions ( symsum ) about the sum of the convergent series. We think this work is theoretically very helpful for the learning efficiency on the series theory and some related competitions for the mathematics in the university. K
7、ey words：series; summation; convergent; maltab ,. 级数求和问题的研究 目 录 目 录 第一章 前言1 第二章 级数求和方法的研究2 2.1 数项级数敛散性判定2 2.2 数项级数求和方法3 2.2.1 傅立叶级数展开式求和法3 2.2.2 幂级数展开式求和法 .3 2.2.3 欧拉公式法.4 2.2.4 交换求和顺序求和法.4 2.2.5 列项消去法求和法5 2.2.6 收敛级数定义求和法.5 2.2.7 部分和子列求和法 .6 2.2.8 Abel 求和法7 2.2.9 逐项微分、逐项积分求和法8 2.2.10 三角级数求和法 9 2.2.1
8、1 两个级数的 Cauchy 乘积求和法 .9 2.2.12 微分方程求和法 10 2.2.13 P 级变号级数求和法11 2.3 讨论 12 第三章 级数求和及审敛程序设计13 3.1 级数审敛程序13 3.1.1 比值判别13 3.1.2 根值判别14 3.1.3 综合比值和根值判别法的审敛程序16 3.2 级数求和程序18 第四章 展望19 参考文献20 致谢21 级数求和问题的研究 6 第一章 前 言 在级数理论中，复杂多变的求和问题往往是由简单的问题叠加而成，当我们面 临一道结构比较复杂、难以入手的级数求和题目时，通常的做法是设法把这类复杂 的问题转化为若干个比较简单、易于解决的问题
9、，从而以简驭繁，使问题获解，本 文正是对这类问题的解决方法进行了研究， 我相信研究其方法对理工科的计算都有 很大的帮助。 级数的求和问题是级数理论中比较重要的内容。由于其方法比较繁多，技巧性 也比较强，一般很难掌握规律，因此是数学学习中的一个难点。本文先对级数（包 括数项级数和函数项级数）的求和问题从方法上进行较为系统的整理和总结归类； 为了方便解决求和问题，本文还对审敛的一般步骤进行了总结整理；利用 matlab 等程序对判别级数收敛性以及求和问题进行了探讨。 级数求和问题的研究 7 第二章 级数求和方法的研究 2.1 常数项级数敛散性的判定 对于常数项级数审敛性的步骤为： 1、判别级数的类
10、型，即分辨其为正项级数，还是任意项级数，对任意项级数，还 要分辨其是否为交错级数。 2、若为正项级数，则首先考察 0 lim 0 n n u = 级数发散 需要进一步判定 然后，根据一般项的特点选择相应的判别法： 一般项中含有!n或者n的乘积形式，通常选用比值判别法 一般项中含有以n为指数幂的因子，通常选用根值判别法 一般项中含有形如n（可以不是整数）的因子，通常选用比较判别法 利用已知敛散性的结果，结合级数的性质，判别其敛散性 当各种判别法均失效时， 则采用定义， 考察部分和极限lim n n S 是否存在， 由于 n S 单调递增，所以实际上就是要判断 n S是否有上界。 3、若为任意项级
11、数，同样要首先考察 0 lim 0 n n u = 级数发散 需要进一步判定 当lim0 n n u =时，可按以下步骤进行： 按正项级数敛散性的判别法，判定 1 | n n u = 是否收敛，若 1 | n n u = 收敛，则 1 n n u = 绝 对收敛 若 1 | n n u = 发散，则看其是否为交错级数，若为交错级数，则利用莱布尼兹判别法 判定，若收敛，则 1 n n u = 条件收敛 级数求和问题的研究 8 若 1 n n u = 是交错级数，但不满足莱布尼兹判别法的条件，或者不是交错级数，则 可以参考使用阿贝耳判别法和狄利克雷判别法等。 2.2 级数求和方法的分类整理 2.2
12、.1 傅立叶级数展开式求和法 任何一个分段光滑的有界周期函数( )f x都能展开成傅立叶级数，( )f x的 傅立叶级数在(,) +上收敛， 借助傅立叶级数可以解决某些复杂的级数求值 问题。 例 1：利用 2 ( )f xx=在-，的傅立叶级数，求下列级数的和： （1） 1 2 1 1 ( 1)n n n = （2） 2 1 1 n n = （3） 2 1 1 (21) n n = （4） 2 1 1 (2 ) n n = 解：易得 2 ( )f xx=在-，的傅立叶展开式 21 2 2 1 ( 1) 4cos, 3 n n xnxx n = = 令0,x= 得（1） 2 1 2 1 1 (
13、1) 12 n n n = = （2） 2 2 1 1 6 n n = = 又 1 22222 11111 ( 1)11111 (21)(2 )(21)4 n nnnnn nnnnn = = 由此即得（3） 1222 222 111 1( 1)111 (21)412468 n nnn nnn = =+=+= （4） 1222 222 111 11( 1) (2 )(21)81224 n nnn nnn = = 2.2.2 幂级数展开式求和法 利用 x e、sin x、cosx、ln(1)x+、(1) x +等函数的幂级数展开式。 例 2： 求 246 111 1()()() 2! 34! 36! 3 S = +L L 级数求和问题的研究 9 解：因 246 cos1, 2!4!6! xxx xxR= +L L 故 1 cos 32 S =。 2.2.3 欧拉公式法 111 1ln(0) 23 n nc n +=+ +L其中。 本方法在主要综合其它方法一起使用，如下文的例 6。 2.2.4 交换求和顺序求和法 若 11 | mn mn a = 收敛，则 1111 | mnmn mnnm aa = =
