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1、第 1 页 共 28 页 2003 年-2012 年江苏省高考数学试题分类解析汇编专题 2：函数与导数一、选择填空题1.（江苏 2003 年 5 分）设函数 0021,1)(,)( xfxf 则若 的取值范围是【】A （1，1） B （1， ）C （，2）（0，） D （，1）（1， ）【答案】D。【考点】分段函数已知函数值求自变量的范围问题，指数不等式的解法。【分析】将变量 0x按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并：当 0x0 时， 021x1，则 0x1；当 0x0 时， 120x1 则 01，故 的取值范围是（，1）（1，） 。故选 D。2.（江
2、苏 2003 年 5 分）函数 ln,()1yx的反函数为【】A 1,(0)xeyB 1,(0)xeyC ,(,)xeD ,(,)xe【答案】B。【考点】反函数。指数式与对数式的互化，求函数的值域。【分析】将 1lnxy，看做方程解出 x，然后根据原函数的定义域 x（1，+）求出原函数的值域，即为反函数的定义域：由已知 l1xy，解 得 1yex。又当 x（1，+）时， 2， 1ln0xy。第 2 页 共 28 页 函数 1ln,()xy的反函数为； 1, 0, +xey。故选 B。3.（江苏 2003 年 5 分）设 20,afxbc，曲线 ()f在点 0(,)Pxf处切线的倾斜角的取值范围
3、为 ,4P则 到曲线 ()yf对称轴距离的取值范围为【】A 10,a B 10,2a C 0,2ba D 10,2ba【答案】B。【考点】导数的几何意义，直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系，点到直线的距离。【分析】由导数的几何意义，得到 0x的范围，再求出其到对称轴的范围：过 0(,)Pxf的切线的倾斜角的取值范围是 0,4 00()2fxab0，1 。 01, 2ba。又点 P到曲线 ()yfx对称轴 2ba的距离 002bdxxa， 01, 2bdxa。故选 B。4.（江苏 2004 年 5 分）若函数 )1,0)(logabxya的图象过两点( 1，0)和(0，1) ，则【 】(A) a
4、=2， b=2 (B) = ， =2 (C) =2， b=1 (D) a= ， b=2 2 2【答案】A。【考点】对数函数的单调性与特殊点。【分析】将两点代入即可得到答案：函数 y=log a（x+ b） （ 0， a1）的图象过两点（1，0）和（0，1） ，log （1+ ）=0 ，log （0+ b）=1。 =2， =2。故选 A。5.（江苏 2004 年 5 分）函数 13)(xf在闭区间3，0 上的最大值、最小值分别是【 】第 3 页 共 28 页 (A)1，1 (B)1，17 (C)3，17 (D)9，19【答案】C。【考点】函数的最值及其几何意义。【分析】用导研究函数 13)(xf
5、在闭区间3，0上的单调性，利用单调性求函数的最值： 2()30, fx ，且在 3，1）上 ()0fx，在（1，0上 ()0fx，则 22()(1)fx， 2()1fx。由2(1)(fxf得， (1)x2()1x，解得 0时， 20x，则 2()fx， 2()1fx。由2(1)(ff得 1 ()，无解。综上所述，满足不等式 2(1)(fxf的 x的范围是 (,2)。21.（江苏 2010 年 5 分）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S梯 形 的 周 长 ）梯 形 的 面 积,则 S 的最小值是。【答案】 32。【考点】求闭区间上函数的最值。第
6、 9 页 共 28 页 【分析】设剪成的小正三角形的边长为 x，则：22(3)4(3)01)111xxS令 13,(23),(,)xtt，则：2 224441866318Sttt。当 138t时， 8t有最大值，其倒数有最小值。当 t，即 1x时，S 的最小值是 32。本题还可以对函数 S 进行求导，令导函数等于 0 求出 x的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值。22.（江苏 2011 年 5 分）函数 )12(log)(5xf的单调增区间是_【答案】 ,21。【考点】对数函数图象和性质。【分析】由 01x，得 21x，所以函数的单调增区间是 ,21。23.（江苏 2011 年
7、 5 分）已知实数 0a，函数 ,)(xaxf，若 )1()(aff，则 a 的值为【答案】 34。【考点】函数的概念，函数和方程的关系，含参数的分类讨论。【分析】根据题意对 a分类：当 0时， 1,1a ， aa2)1()(2，解之得 23，不合舍去；当 a时， ,， )()(，解之得 4。第 10 页 共 28 页 14.（江苏 2011 年 5 分）在平面直角坐标系 xOy中，已知点 P 是函数 )0()xef的图象上的动点，该图象在 P 处的切线 l交 y 轴于点 M，过点 P 作 l的垂线交 y 轴于点 N，设线段 MN 的中点的纵坐标为 t，则 的最大值是 【答案】 )(211e。
8、【考点】指数运算，函数的导数的求法及导数的几何意义，导数用于求函数的最值。【分析】设 P 点坐标为 )0(,m，由 xef)(得， l的方程为 )(mxeym，令 0得， mey。过点 P 的 的垂线方程为 ，令 x得， 。 )(21mmeet 。对函数 )求导，得 1()2xt， t在 (0,1上单调增，在 ,)单调减，当 1时，函数 t(m)的最大值为 )(211e。15. （2012 年江苏省 5 分）函数 xxf6log1(的定义域为 【答案】 0 6于。【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得 1266000
9、612loglog6=xxx。16. （2012 年江苏省 5 分）已 知 函 数 ()()fxabR， 的 值 域 为 0)， ， 若 关 于 x 的 不 等式()fxc的 解集为 (6)m， ，则实数 c 的值为 【答案】9。【考点】函 数 的 值 域 ， 不 等 式 的 解集。【解析】由值 域 为 0)， ， 当 2=0xab时有 240abV，即24a， 第 11 页 共 28 页 2222()4afxabxx。2()fc解 得 2c， 2axc。不 等 式 fx的 解集为 (6)m， ， ()()6，解得 9c。二、解答题1.（江苏 2003 年 12 分）已知 0,an为正整数 奎
10、 屯王 新 敞新 疆（）设 ()nyx，证明 1()nyxa；（）设 nnf，对任意 ，证明 1()1()nnff 奎 屯王 新 敞新 疆【答案】证明：（） knnCax0)(kxa)(， 10)(nnkyk0111()()nknxa。（）对函数 nnnaxf求导数：11()(),.0,.()().,1()nnnnnnfxxaafxxxaaAA于 于于 )(11)()(1 nnnn af 1)()naf。即对任意 1,()nnaff【考点】导数的运算，不等式的证明。【分析】 （I）利用复合函数的求导法则，先求出外函数与内函数的导数，再求它们的乘积。（II）先利用复合函数的求导法则求出函数的导函
11、数，再求 x用 +1 代替求出导函数值，易比较出两者的大小。第 12 页 共 28 页 2.（江苏 2005 年 12 分）已知 Ra，函数 |)(2axf 奎 屯王 新 敞新 疆当 2a时，求使 xf)(成立的 的集合；（4 分）求函数 y在区间 2,1上的最小值 奎 屯王 新 敞新 疆 （10 分）【答案】解：（1）由题意， |)(xf当 x时，由 )2，解得 0x或 1；当 2时，由 xf()，解得 2 奎 屯王 新 敞新 疆综上，所求解集为 0, 12。（2）设此最小值为 m 奎 屯王 新 敞新 疆当 a时，在区间1，2上， 23)(axf， 0232)( xxf ， ),1(， 是区
12、间1，2上的增函数，所以 f。当 1a时，在区间1， 2上， 0|)(2ax，由 0)(f知，0)(afm。当 2时，在区间1，2上， 32)(xf， 32)( xaxaxf 若 3，在区间（1，2）上， 0)(f，则 )(xf是区间1，2 上的增函数， )(fm。若 a，则 23a，当 x21时， 0)(xf，则 )(xf是区间1， a32上的增函数，当 3时， ，则 是区间 ，2上的减函数，当 2a时， 1)(afm或 )2(4)f。第 13 页 共 28 页 当 372a时， 1)2(4a，故 )2(4)afm。当 时， ，故 1。综上所述， ，所求函数的最小值 3712)(40am。【
13、考点】函数与导数综合运用，分段函数的解析式求法。【分析】 （1）把 2a代入函数解析式，根据绝对值的符号分为两种情况，即 2x和 分别求解对应方程得根，再把所有的根用列举法表示出来。（2）根据区间1，2和绝对值内的式子进行分类讨论，即 1a、 和 a三种情况，分别求出解析式和它的导函数，利用导函数的符号判断在闭区间上的单调性，再求最小值；当 3a时最小值可能取在区间的两端，再通过作差和分类进行比较两个函数值的大小，最后用分段函数表示函数的最小值。3.（江苏 2006 年 14 分） 请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥（如右图所示） 。
14、试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 1O的距离为多少时，帐篷的体积最大？【答案】解：设 OO1 为 xm，则由题设可得正六棱锥底面边长为 2223(1)8xx底面正六边形的面积为 2 23()6)(8)4xA帐篷的体积为 2 331V()8()(1623xx。求导数，得 2()(1) 。令 ()0x解得 =2(不合题意，舍去)， x=2。当 1时，函数 yt, 2,的图象是开口向上的抛物线的一段，由10t时， 1a，此时 ()2ga, 1()2ga 。由 12a解得1a，由 0得 a。综上所述，满足 ()g的所有实数 为 2或 1。【考点】函数最值的应用【分析】 （I）由 t x1先求定义域，再求值域。由 21xt转化。（II）求 ()ga的最大值，即求函数 21, , mtatt的最大值严格按照
