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1、全国各地接二连三地发生了多起特大安全事故，造成严重的人员伤亡，特别是北京密云、吉林商厦等特大安全事故，引起了党中央和国务院的高度关注专题十二直线与圆的方程数学试卷考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校：_姓名：_班级：_考号：_ 题号一二三总分得分注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 第1卷 评卷人得分一、选择题1、在等腰直角三角形中,点是边上异于的一点.光线从点出发,经反射后又回到点(如图).若光线经过的重心,则等于( )A.B.C.D. 2、经过点且在两轴上截距相等的直线方程是( )A.B.C.或D.或 3、直线的倾斜角
2、为( )A.B.C.D. 4、已知直线,若,则实数的值为( )A.B.C.或D. 5、已知直线过点且与点,等距离,则直线的方程为( )A.B.C.或D.或 6、若为圆的弦的中点,则直线的方程是( )A.B.C.D. 7、若直线,圆,交于两点,则弦长的最小值为( )A.B.C.D. 8、圆与圆的公共弦长为( )A.B.C.D. 9、点与圆上任一点连结的线段的中点的轨迹方程( )A.B.C.D. 10、若实数满足则的取值范围为( )A.B.C.D. 11、已知过定点的直线与曲线相交于两点,为坐标原点,当的面积取最大值时,直线的倾斜角为( )A.B.C.D. 12、如图,已知直线与轴、轴分别交于,两
3、点,是以为圆心,为半径的圆上一动点,连接,则面积的最大值是( )A.B.C.D. 评卷人得分二、填空题13、设点,若直线与线段有一个公共点,则的最小值为_. 14、在平面直角坐标系中,直线与直线相交于点,则当实数变化时,点到直线的距离的最大值为_. 15、 已知圆,直线,若在直线上任取一点作圆的切线,切点分别为,则的长度取最小值时直线的方程为_. 16、直线与轴的交点分别为,直线与圆的交点为.给出下面三个结论:;,则所有正确结论的序号是。 评卷人得分三、解答题17、已知直线:,:,与轴交于点,与轴交于点,与交于点,圆是的外接圆.1.判断的形状并求圆面积的最小值.2.若,是抛物线与圆的公共点,问
4、:在抛物线上是否存在点使得是等腰三角形?若存在,求点的个数;若不存在,请说明理由. 18、已知点为抛物线的焦点,直线为准线,为抛物线上的一点(在第一象限),以点为圆心,为半径的圆与轴交于两点,且为正三角形.1.求圆的方程;2.设为上任意一点,过作抛物线的切线,切点为,判断直线与圆的位置关系. 19、在平面直角坐标系中,已知圆在轴上截得线段长为,在轴上截得线段长为.1.求圆心的轨迹方程;2.若点到直线的距离为,求圆的方程. 20、在平面直角坐标系中,一动圆经过点且与直线相切,若该动圆圆心的轨迹为曲线.1.求曲线的方程;2.已知点,倾斜角为的直线与线段相交(不经过点或点)且与曲线交于、两点,求的面
5、积的最大值,及此时直线的方程. 21、在平面直角坐标系中,直线截以原点为圆心的圆所得的弦长为。1.求圆的方程;2.若直线与圆切于第一象限,且与坐标轴交于点,当长最小时,求直线的方程;3.设是圆上任意两点,点关于轴的对称点为,若直线,分别交轴于点和,问是否为定值?若是,请求出定值;若不是,请说明理由. 22、已知圆与圆关于直线对称,且点在圆上.1.判断圆与圆的位置关系;2.设为圆上任意一点,与不共线,为的平分线,且交于.求证:与的面积之比为定值. 参考答案： 一、选择题 1.答案： D 解析： 以为轴,所在直线为轴建立如图所示的坐标系,由题可知,则直线方程为,设,由对称知识可得点关于直线的对称点
6、的坐标为,点关于轴的对称点的坐标为,根据反射定理可知就是光线所在直线.由、两点坐标可得直线的方程为,设的重心为,易知.因为重心在光线上,所以有,即.所以或,因为,所以,即,故选D. 2.答案： D 解析： 若直线过原点，则在两坐标轴上的截距都为，在两坐标轴上的截距相等，此时直线方程为；若直线不过原点时，设直线在两坐标轴上的截距为，由，代入点的坐标可得：，直线方程为；故选D考点：直线的截距点评：解本题的关键是掌握直线的截距式方程不能表示过原点的直线，注意直线过原点时在两个坐标轴上的截距都是也是相等的 3.答案： D 解析： 由直线方程,得斜率为,即,解得. 4.答案： C 解析： 若,则由,故,
7、即;若,则;所以.故选C. 5.答案： D 解析： 设所求直线的方程为,即,由已知及点到直线的距离公式可得,解得或,即所求直线方程为或. 6.答案： A 解析： 设圆心为,则,由于为弦的中点,所有,而,所以,直线的方程为:,即:。 7.答案： B 解析： 直线,直线过定点,解得定点定点,当点是弦中点时,此时弦长最小,圆心与定点的距离,弦长,故选B. 8.答案： C 解析： 两圆的公共弦所在直线为,圆心到直线的距离为,所以弦长为. 9.答案： A 解析： 设中点坐标为,那么圆上一点设为,满足,根据条件,代入后得到,化简为:,故选A. 10.答案： B 解析： 原方程配方得,表示的是圆上的点和点之
8、间的连线的斜率,画出图象如下图所示,结合选项和图象可知,斜率的最小值为,没有最大值. 11.答案： A 解析： 由题意知直线的斜率必然存在,设直线的斜率为且,则直线方程为,设圆心到直线的距离为,则,可用二次函数,也可根据基本不等式(当且仅当即时等号成立),此时三角形的面积最大,且,解得,则倾斜角为,选A. 12.答案： C 解析： 如图,平移使其与相切于,此时点距离最远,即的面积最大,连接,连接并延长交于.是的半径,.直线与轴、轴分别交于、两点,点的坐标为,点的坐标为,则.,的面积的最大值是. 二、填空题 13.答案： 解析： 因为直线与线段有一个公共点,所以点在直线的两侧,所以,即或,画出它
9、们表示的平面区域,如下图所示,表示原点到区域的点距离的平方,由图可知,当原点到直线的距离到区域内的点的距离的最小值,所以的最小值为。 14.答案： 解析： 由题意得,直线的斜率为,且经过点,直线的斜率为,且经过点,且直线所以点落在以为直径的圆上,其中圆心坐标,半径为,则圆心到直线的距离为,所以点到直线的最大距离为。 15.答案： 解析： 当的长度最小时,圆心角最小,设为,则由可知当最小时,最大,即最小,那么,可知,设直线的方程为.又由可知,点到直线的距离为,即,解得或;经检验,则直线的方程为. 16.答案： 解析： 当时,分别可得直线的截距,由三角形的面积公式易得结论正确;当时,反证法可得结论
10、错误;由三角形的面积公式可得,可得结论正确.当时,把代入直线方程可得,把代入直线方程可得,故结论正确;当时,所以直线可化为,圆心到的距离，假设,则，即，所以,所以显然矛盾,故结论错误;,所以，所以结论正确。 三、解答题 17.答案： 1.由题得,所以是直角三角形,且,则外接圆直径是,.要使圆的面积最小,则,当且仅当时成立,所以圆面积的最小值为.2.由点在抛物线上,得.由知圆过原点,则抛物线与圆的公共点是,假设存在点满足条件,则.当是底时,的中点为,的中垂线方程为,代入抛物线,得,所以存在两个满足条件的点.当是底时,中点为,则,即,.设,则在,上递增,在上递减.因为,所以在内有唯一零点,存在一个
11、满足条件的点.当是底时,中点为,则,即,所以,即,则或,此时只有一个解.综上所述,以上零点不重复,所以共有个满足条件的点. 18.答案： 1.由已知,设圆的半径为,因为为正三角形,因为点在抛物线上,得或,所以圆的方程为或.2.方法一:因为准线为,设,因为,所以,为切点的切线方程为:,因为切线过,得同理可得所以直线方程为,即,圆心,到直线距离,可得,所以时,直线与圆相切,时,直线与圆相交.所以直线与圆相交或相切.同理可证,直线与圆相交或相切.所以直线与圆、相交或相切.方法二:设,直线的方程为,代入抛物线的方程得,所以,因为,所以,为切点的切线方程为:为切点的切线方程为:联立得,所以,所以直线方程
12、为,以下与(方法一)相同. 19.答案： 1.设,圆半径为,由已知设,从而,故的轨迹方程为2.设,由已知得,又点在双曲线上,从而得,由,得,此时,圆的半径故圆的方程为或. 20.答案： 1.由题意可知圆心到的距离等于到直线的距离,由抛物线的定义可知,圆心的轨迹方程:.2.解法一:由题意,可设的方程为,其中,由方程组得,当时,方程的判别式成立。设,则,又因为点到直线的距离为。令,所以函数在上单调递增,在上单调递减。当时,有最大值32,故当直线的方程为时,的最大面积为。解法二:由题意,可设与轴相交于,的方程为,其中,由方程组,直线与抛物线有两个不同交点、,方程的判别式必成立,设则。令,所以函数在上单调递增,在上单调递减.当时,有最大值32,故当直线的方程为时,的最大面积为. 21.答案： 1.圆心到直线的距离,又半弦长,则该圆的半径,所以圆的方程为。2.设直线,即,则,由题设可得,即,又因,故,即,故(当且仅当时取等号),此时所求直线的方程为.3.设,由题意得,则,直线,令,解之得,;又因为则,直线,令可得,由于,故,为定值. 22.答案： 1.因为圆的圆心关于直线的对称点为,所以所以圆的方程为,因为,所以圆与圆相离.2.设,则,所以,所以,因为为的角平分线上一点,所以到与的距离相等,所以为定值.安全生产工
