《高考数学一轮复习（热点难点）专题36 到底你要放缩到什么程度：放缩法证明数列不等式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习（热点难点）专题36 到底你要放缩到什么程度：放缩法证明数列不等式（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、全国各地接二连三地发生了多起特大安全事故，造成严重的人员伤亡，特别是北京密云、吉林商厦等特大安全事故，引起了党中央和国务院的高度关注专题36 到底你要放缩到什么程度：放缩法证明数列不等式 考纲要求:1、掌握放缩法证明数列不等式的理论依据不等式的性质：2、掌握放缩的技巧与方法.基础知识回顾:放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点： 等差数列求和公式：，（关于的一次函数或常值函数） 等比数列求和公式：，（关于的指数类函数） 错位相减：通项公式为“等差等比”的形式 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和
2、相关的不等式的放缩技巧： 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向） 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧： 裂项相消：在放缩
3、时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项） 等比数列：所面对的问题通常为“常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足 ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，常数可视为的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数，即可猜想该等比数列的首项为，公比为，即通项公式为 。注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响（4）与数列中的项相关的不等式问题： 此类
4、问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即或（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为，另一侧为求和的结果，进而完成证明应用举例:类型一：与前n项和相关的不等式例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列的前项和满足：（为常数，且，）（1）求的通项公式；（2）设，若数列为等比数列，求的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）（2）（3）（2）由（1）知，即，若数列为等
5、比数列，则有，而，故，解得，再将代入，得，例2.记.对数列和的子集，若，定义；若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.（1）求数列的通项公式；（2）对任意正整数，若，求证：；（3）设，求证：.【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析 【解析】试题分析：（1）根据及时定义，列出等量关系，解出首项，写出通项公式；（2）根据子集关系，进行放缩，转化为等比数列求和；（3）利用等比数列和与项的大小关系，确定所定义和的大小关系：设，则因此由，因此中最大项必在A中，由（2）得.试题解析：（1）由已知得.于是当时，.又，故，即.所以数列的通项公式为.（2）因为，所以.因此，.综合得，. 类
6、型二、与通项运算相关的不等式例3.设函数，数列满足：（1）求证:时，；（2）求证: （）；（3）求证:（）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析故，则有：例4.已知是数列的前项和，且对任意，有.其中为实数，且.（1）当时，求数列的通项；是否存在这样的正整数，使得成等比数列？若存在，给出满足的条件，否则，请说明理由.（2）当时，设， 判定是否为等比数列；设，若对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；不存在；（2）当且时，数列是以为首项，为公比的等比数列，当时，不是等比数列；方法、规律归纳:常见的放缩变形：（1），（2）注：对于还可放缩为：（3）分子分母同加常数：（4） 可推
7、广为： 实战演练:1【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列满足记数列的前项和为， （1）求证：数列为等比数列，并求其通项； （2）求； （3）问是否存在正整数，使得成立？说明理由.【答案】（1） （2） （3）当为偶数时， 都成立，（3）详见解析（3）假设存在正整数 ，使得 成立，因为 ， ，所以只要 即只要满足 ： ，和： ，对于只要 就可以；对于，当 为奇数时，满足 ，不成立，当 为偶数时，满足，即 令 ，因为 即 ，且当 时， ，所以当 为偶数时，式成立，即当 为偶数时， 成立 . 2【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷】在数列中， ， ， ，其中
8、求证：数列为等差数列； 设， ，数列的前项和为，若当且为偶数时， 恒成立，求实数的取值范围； 设数列的前项的和为，试求数列的最大值.【答案】见解析 要使对且为偶数恒成立，只要使对且为偶数恒成立，即使对为正偶数恒成立， ，故实数的取值范围是； 由得， ， ，设， ，当时， ，即，当时， ，即，因此数列的最大值为 【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用，涉及等差数列的判定与证明，其中证明（1）的关键是分析得到与的关系式3【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知数列的前项和为，满足，数列满足，且（1）求数列和的通项公式；（2）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围；（3）是否存
9、在正整数，使，（）成等差数列，若存在，求出所有满足条件的，若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）（3）不存在（2）由（1）得，于是，所以两式相减得，所以， 由（1）得， 因为对 ，都有，即恒成立，所以恒成立，记，所以， 因为 ，从而数列为递增数列，所以当时取最小值，于是 （3）假设存在正整数（），使成等差数列，则，即 ，若为偶数，则为奇数，而为偶数，上式不成立.若为奇数，设，则，于是，即，当时，此时与矛盾；4已知数列、，其中， ，数列满足,，数列满足 （1）求数列、的通项公式；（2）是否存在自然数，使得对于任意有恒成立？若存在,求出的最小值；（3）若数列满足，求数列的前项和【答案】（1）；（
10、2）存在， ；（3）【解析】试题分析：（1）根据题设条件用累乘法能够求出数列an的通项公式b1=2，bn+1=2bn可知bn是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出bn的通项公式（2）bn=2n假设存在自然数m，满足条件，先求出，将问题转化成可求得的取值范围；（3）分n是奇数、n是偶数两种情况求出Tn，然后写成分段函数的形式。试题解析：（1）由，即 又，所以 . 当时，上式成立，因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列，故. （3）当为奇数时， ；当为偶数时， . 因此 点睛：数列求和时，要根据数列项的特点选择不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和等。5【江苏省
11、启东中学2018届高三上学期第一次月考】设数列的前项和为，且满足， 为常数（1）是否存在数列，使得？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由（2）当时，求证： （3）当时，求证：当时， 【答案】（1）不存在，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析当时， ，两式相减得，即， ， ， ，当时， ，即，综上， 6【江苏省泰州中学2018届高三上学期开学考试】已知两个无穷数列分别满足，其中，设数列的前项和分别为.（1）若数列都为递增数列，求数列的通项公式；（2）若数列满足：存在唯一的正整数，使得，称数列为“坠点数列”.若数列“坠点数列”，求若数列为“坠点数列”，数列为“坠点数列”，是
12、否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）.（2）， 6.7【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一】已知数集具有性质对任意的，使得成立.（1）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（2）求证： ；（2）若，求的最小值.【答案】（1）不具有（2）见解析（3）.（2）因为集合具有性质，所以对而言，存在，使得，又因为，所以，所以，同理可得，将上述不等式相加得： ，所以.（3）由（2）可知，又，所以，所以，构成数集，经检验具有性质，故的最小值为.点睛：本题是一道新定义的迁移信息并利用信息的信息迁移题。求解第一问时，直接运用题设条件中所提供的条件信息进行验
13、证即可；解答第二问时，先运用题设条件中定义的信息可得，同理可得，再将上述不等式相加得： 即可获证；证明第三问时，充分借助（2）的结论可知，又，所以可得，因此构成数集，经检验具有性质，进而求出的最小值为.8记等差数列的前项和为.（1）求证：数列是等差数列； （2）若 ，对任意，均有是公差为的等差数列，求使为整数的正整数的取值集合；（3）记，求证： .【答案】（1）见解析（2）（3）见解析解：（1）设等差数列的公差为，则，从而，所以当时， ，即数列是等差数列. （2）因为的任意的都是公差为，的等差数列，所以是公差为，的等差数列，又，所以，所以，显然， 满足条件，当时，因为，所以，所以不是整数，综上
14、所述，正整数的取值集合为.（3）设等差数列的公差为，则，所以，即数列是公比大于，首项大于的等比数列，记公比为.以下证明： ，其中为正整数，且，因为，所以，所以，当时， ，当时，因为为减函数， ，所以，所以，综上， ，其中 ，即.9已知数列an的前n项和为Sn，数列bn，cn满足 (n1) bnan1，(n2) cn，其中nN*（1）若数列an是公差为2的等差数列，求数列cn的通项公式；（2）若存在实数，使得对一切nN*，有bncn，求证：数列an是等差数列【答案】（1）cn1（2）见解析. 10已知各项不为零的数列的前项和为，且， ， （1）若成等比数列，求实数的值；（2）若成等差数列，求数列的通项公式；在与间插入个正数，共同组成公比为的等比数列，若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值【答案】（1）（2）（3）（3），在与间插入个正数，组成公比为的等比数列，故有，即，
