《高考数学 考点一遍过 专题53 离散型随机变量及其分布列、均值与方差 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 考点一遍过 专题53 离散型随机变量及其分布列、均值与方差 理（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、全国各地接二连三地发生了多起特大安全事故，造成严重的人员伤亡，特别是北京密云、吉林商厦等特大安全事故，引起了党中央和国务院的高度关注专题53 离散型随机变量及其分布列、均值与方差（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.（2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.（3）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.一、离散型随机变量的分布列1随机变量的有关概念随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，表示离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为
2、离散型随机变量2离散型随机变量分布列的概念及性质（1）离散型随机变量的分布列的概念设离散型随机变量X可能取的不同值为，X取每一个值 (i1，2，n)的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列.XP有时也用等式表示X的分布列（2）离散型随机变量的分布列的性质(i1，2，n)；3必记结论（1）随机变量的线性关系若X是随机变量，a，b是常数，则Y也是随机变量（2）分布列性质的两个作用利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率二、常见的离散型随机变量的概率分布模型1两点分布若随机变量X的分布列为X01P1pp称X服
3、从两点分布，而称为成功概率2超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件发生的概率为，k0，1，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，称分布列X01mP为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.3必记结论（1）两点分布实际上是n1时的二项分布（2）某指定范围的概率等于本范围内所有随机变量的概率和三、离散型随机变量的均值与方差1离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为：XP（1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平（2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变
4、量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差2均值与方差的性质若YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aXb)aE(X)b；D(aXb)a2D(X)考向一 离散型随机变量分布列性质的应用分布列的应用主要体现在分布列的性质上的应用，离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用：（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；（2）利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.典例1 随机变量X的分布列为X-101Pabc其中a,b,c成等差数列,则P(|
5、X|=1)等于A BC D【答案】D典例2 已知随机变量的分布列为12n-1nPx其中nN*,则x的值为A BC D【答案】C【解析】由分布列的性质,得+x=1,即(1-)+(-)+(-)+x=1-+x=1,所以x=.1已知随机变量的分布列为1234P若随机变量满足=2-1,则P(15)=.考向二 离散型随机变量的分布列、均值与方差1求离散型随机变量X的分布列的步骤：（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值；（2）求X取每个值的概率；（3）写出X的分布列.2（1）与排列、组合有关分布列的求法可由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列（2）与频率分布直方图有关分布列的求法可由频率估计概率，再
6、求出分布列（3）与互斥事件有关分布列的求法弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列（4）与独立事件(或独立重复试验)有关分布列的求法先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列3求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求即可.典例3 某省电视台举行歌唱大赛,大赛依次设初赛,复赛,决赛三个轮次的比赛.已知某歌手通过初赛,复赛,决赛的概率分别为且各轮次通过与否相互独立.记该歌手参赛的轮次为(1)求的分布列和数学期望.(2)记“函数是偶函数”为事件,求发生的概率;123.(2)因为是偶函数,所以或故=.典例4 某高校进行自主招生考试,有A、
7、B、C3个专业可供选报,每名考生必须选报且只能报其中1个专业,且选报每个专业的概率相等.现有甲、乙、丙、丁4名同学决定参加该校的自主招生考试,且每名同学对专业的选报是相互独立的.(1)求甲、乙2名同学都选报A专业的概率;(2)已知甲、乙2名同学没有选报同一专业,(i)求这3个专业恰有1个专业没人选报的概率;(ii)这4名同学中选A专业的人数记为,求随机变量的分布列、数学期望和方差.则所求概率为P(N)=.(ii)随机变量的所有可能取值为0,1,2,3,P(=0)=,P(=1)=,2气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下:日最高气温t/t2222t282832天数612
8、YZ由于工作疏忽,统计表被墨水污染,Y和Z数据不清楚,但气象部门提供的资料显示,六月份的日最高气温不高于32 的频率为0.9.某水果商根据多年的销售经验,六月份的日最高气温t(单位:)对西瓜的销售影响如下表:日最高气温t/t2222t282832日销售额X/千元2568(1)求Y,Z的值;(2)若视频率为概率,求六月份西瓜日销售额X的期望和方差;(3)在日最高气温不高于32 时,求日销售额不低于5千元的概率.3已知袋中装有大小相同的8个小球,其中5个白球编号分别为1,2,3,4,5;3个黑球编号分别为1,2,3,从袋中任意取出3个球.(1)求取出的3个小球编号都不相同的概率;(2)记X为取出的
9、3个小球中编号的最大值,求X的分布列与数学期望;(3)记每次取出的3个小球所得的分数为Y,其中Y=2X+1(X为取出的3个小球中编号的最大值),求Y的数学期望.考向三 超几何分布超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数超几何分布的特征是：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考察某类个体个数X的概率分布超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要熟记公式，正确运用.典例5 为参加全国第二届“登峰杯”科技创新大赛,某市重点中学准备举办一次选拔赛,共有60名高二学生报名参加,按照不同班级统计参赛人数,如表所示:班级宏志班珍珠班英才班精英班参赛人数
10、20151510(1)从这60名高二学生中随机选出2人,求这2人在同一班级的概率;(2)现从这60名高二学生中随机选出2人作为代表,进行大赛前的发言,设选出的2人中宏志班的学生人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.则P(X=0)=, 典例6 为了统计某市网友2017年的“双十一”在某淘宝店的网购情况,随机抽查了该市60名网友当天的网购金额情况,得到如下数据统计表:网购金额(单位:千元)频数频率(0,0.530.05(0.5,1xp(1,1.590.15(1.5,2150.25(2,2.5180.30(2.5,3yq合计601.00网购金额超过2千元与不超过2千元的顾客的人数比恰为23.(1
11、)求p,q的值,并补全频率分布直方图(如图);(2)从网购金额超过2千元与不超过2千元的顾客中用分层抽样的方法抽取15人,若需从这15人中随机选取3人进行问卷调查,设为选取的3人中网购金额超过2千元的人数,求的分布列和期望.(2)用分层抽样的方法,从中选取15人,则其中网购金额超过2千元的顾客有15=6(人),网购金额不超过2千元的顾客有15=9(人),故的所有可能取值为0,1,2,3,则P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,所以的分布列为0123PE()=0+1+2+3.4为督导学校课外选修课的开展情况,某市教育督导部门从一所高中的四个选修专业中利用分层抽样的方法选出了14
12、名学生进行调查,已知样本中各专业学生人数如下表:专业泥塑剪纸武术电工人数2345(1)若从这14名学生中随机选出两名,求这两名学生来自同一选修专业的概率;(2)现要从这14名学生中随机选出两名学生参加座谈,设其中来自剪纸专业的人数为X,令Y=2X-1,求随机变量Y的分布列及数学期望E(Y).考向四 利用均值、方差进行决策均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.典例7 某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周
13、一、周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质,基地收益如下表所示:周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元7.5万元若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元;有雨时收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否下雨互不影响,基地收益为20万元的概率为0.36.(1)若不额外聘请工人,写出基地收益X的分布列及基地的预期收益;(2)该基地是否应该外聘工人,请说明理由.则其预期收益E(Y)=200.6+100.4-a=16-a,E(Y)-E(X)=1.6- a综上,当额外聘请工人的成本高于1.6万元时,不外聘工人;成本低于1.6万元时,外聘工人;成本恰为1.6万元时,是否外聘工人均可以.典例8 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大,表明质量越好.记其质量指标值为k,当k85时,产品为一级品;当75k85时,产品为二级品;当70k75时,产品为三级品.现用两种配方(分别称为A配方和B配方)做实验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果(以下均视频率为概率):A配方的频数分布表指标值分组75,80)80,85)85,
