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1、全国各地接二连三地发生了多起特大安全事故，造成严重的人员伤亡，特别是北京密云、吉林商厦等特大安全事故，引起了党中央和国务院的高度关注考点12 数列热门题型题型1 等差数列与等比数列的基本量题型2 等差、等比数列的性质及其应用题型3 证明数列是等差、等比数列题型4 数列求和与求通项题型5数列与不等式题型1 等差数列与等比数列的基本量例1 （1）（2017全国3理14）设等比数列满足， ，则 _（2）（2017全国1理4）记为等差数列的前项和若，则的公差为（ ）A1 B2 C4 D8【解题技巧】等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式，共涉及到五个量，或，知道其中三个就可以求另外两个，体现方程的思
2、想，在求解此类问题时，使用，或建立方程是基本方法。变式1.（2015重庆理2）在等差数列中，若，则（ ）.A. B. 0 C. 1 D. 6解析 由等差中项知：，所以.故选B.变式2.（2017江苏09）等比数列的各项均为实数，其前项的和为，已知，则 题型2 等差、等比数列的性质及其应用例2.（1）（2015广东理10）在等差数列中，若，则 （2）（2015全国理4）等比数列满足，则（ ）A. B. C. D. 解析：（1）因为是等差数列，所以，即，所以故应填10（2）由题意可设等比数列的公比为，则由得，.又因为，所以.解得或（舍去），所以.故选B.【解题技巧】（1）等比数列中常用的性质：；若
3、，则（2）等差数列中常用的性质：；若，则（3）在等差数列中，为其前项和，则：数列，也是等差数列； 为等差数列；若，分别是等差数列，的前项和，则变式1.（2015北京理6）设是等差数列，下列结论中正确的是（ ）.A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则变式2.（2016全国乙理15）设等比数列满足，则的最大值为 .解析 由，得，又，得，故.解法一：由，得，得，且.故当或时，取得最大值，即.解法二：.故当或时，取得最大值.题型3 证明数列是等差、等比数列例3.（2016全国丙17）已知数列的前项和，.其中.（1）证明是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求.（2）由（1）得.由，得，即，解得.
4、【解题技巧】证明数列是等差数列或等比数列的方法一般有两种：（1）定义法：，则是等差数列；，则是等比数列；（2）等差（比）中项：若，则是等差数列；若，则是等比数列.变式1.（2014 新课标1理17）已知数列的前项和为，其中为常数.（1）证明：；（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.解：（1）由题设，两式相减得 由于，所以 （II）由题设，可得（2）由（I）知，令，解得故，由此可得是首项为1，公差为4的等差数列，；是首项为3，公差为4的等差数列，所以，.因此存在，使得数列为等差数列. 题型4 数列求和与求通项例4.（2015湖北理18）设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q已
5、知，（1）求数列，的通项公式；（2）当时，记，求数列的前n项和 解析：（1）由题意有，即解得或故或【解题技巧】（1）数列求通项公式基本的方法是利用基本量，或，知道其中三个就可以求另外两个，体现方程的思想，在求解此类问题时，使用，或建立方程是基本方法。（2）错位相减法求数列的前n项和是常见的考点。例5.（2015全国1理17）为数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和解析（1）由可得式式得又因为，所以当时，即，解得或（舍去），所以是首项为，公差为的等差数列，通项公式为（2）由可得记数列前项和为，则【解题技巧】（1）利用与的关系求数列的通项公式，注意验证是否满足；（2）裂
6、项相消法求和是一种常见的数列求和方法，将数列中的每一项拆成两项或多项，使这些拆开的项出现有规律的相互抵消，从而达到求和的目的。常见的裂项相消的方式有：；变式1.（2017全国3理9）等差数列的首项为1，公差不为0若，成等比数列，则数列前6项的和为（ ）ABC3D8解析：因为为等差数列，且成等比数列，设公差为，则，即.因为，代入上式可得，又，则，所以.故选A.变式2.（2015江苏卷11）设数列满足，且，则数列前项的和为 解析 解法一：可以考虑算出前项，但运算化简较繁琐解法二：由题意得，故累加得，从而，当时，满足通项故，则有变式3.（2015全国理16）设是数列的前项和，且，则_变式4.（201
7、5山东理18）设数列的前项和为. 已知.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.解析 （1）因为，所以，故当时，此时，即，所以（2）因为，所以当时，所以；当时， 所以. 式式得：，所以经检验，时也适合综上可得题型5 数列与函数、不等式的综合例6.（2015广东理21）数列满足：.（1）求的值；（2）求数列的前项和；（3）令，求证：数列的前项和满足.（3）由题可得，所以，所以记，则当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，当时，所以，所以，所以，即有，所以，即变式1.（2015四川理16）设数列（）的前项和满足，且，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为
8、，求使得成立的的最小值. 分析：利用及题设可得与的关系为，所以这是一个公比为2的等比数列.再利用，成等差数列，可求得，从而求得通项公式；（2）由（1）得，这仍然是一个等比数列，利用等比数列的前项和公式，可求得，代入，即可得使成立的的最小值.解析：（1）由已知，可得，即.则，.又因为，成等差数列，即.所以，解得.所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.故.【高考真题链接】1.（2016全国乙理3）已知等差数列前项的和为，则（ ）.A. B. C. D.解析：设等差数列的公差为，由，得. 又，则，得.故.故选C.2.（2015湖南理14）设为等比数列的前项和，若，且，成等差数列，则 .解析:因为，
9、成等差数列，所以，即，得，所以. 又因为为等比数列，所以.3.（2016天津理5）设是首项为正数的等比数列，公比为，则”“是”对任意的正整数，“的（ ）.A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析：由题意得，.由，故是必要不充分条件.故选C.4.（2016江苏8）已知是等差数列，是其前项和若，则的值是 解析 设公差为，则由题意可得，解得，则5.(2017北京理10)若等差数列和等比数列满足，则_.解析 由，则，由，则，则.故.6.（2017全国2理3）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
10、”意思是：一座7层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）.A1盏 B3盏 C5盏 D9盏解析 设顶层灯数为，解得故选B.7.（2015安徽理14）已知数列是递增的等比数列，则数列的前项和等于 .解析 设等比数列的公比为，则，解得或（舍去），所以8.（2017全国2理15）等差数列的前项和为，则 解析 设首项为，公差为由，得，所以，.9.（2016全国甲理17）为等差数列的前项和，且，记，其中表示不超过的最大整数，如，（1）求，；（2）求数列的前项和10.（2014 新课标2理17）已知数列满足，.（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）证明：.解：
11、（I）由得，又，所以是首项为，公比为3的等比数列。，因此的通项公式为.（）由（I）知因为当时，所以，于是，所以 11.（2015天津理18）已知数列满足（为实数，且），且，成等差数列.（1）求的值和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.分析: (1)由得，先求出，分为奇数与偶数讨论即可；(2)求出数列的通项公式，用错位相减法求和即可.解析 (1) 由，得，又（为实数，且），则，又因为，所以，当时，当时，所以的通项公式为(2)由(1)得，设数列的前项和为，则，两式相减得，整理得.所以数列的前项和为，.12.（2015天津理18）已知数列满足（为实数，且），且，成等差数列.（1）求的值和的通项公式
12、；（2）设，求数列的前项和.分析 (1)由得，先求出，分为奇数与偶数讨论即可；(2)求出数列的通项公式，用错位相减法求和即可.解析 (1) 由，得，又（为实数，且），则，又因为，所以，当时，当时，所以的通项公式为(2)由(1)得，设数列的前项和为，则，两式相减得，整理得.所以数列的前项和为，.13.（2016山东理18）已知数列的前项和，是等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）令求数列的前项和.解析 （1）由题意知当时，当时，所以.设数列的公差为，由，即，解得，所以.14.（2017天津理18）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，.（1）求和的通项公式；（2）求数
13、列的前n项和.解析 （1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以.由，可得 由，可得 联立，解得，由此可得.所以数列的通项公式为，数列的通项公式为.(2)设数列的前n项和为，由，有，故，上述两式相减，得，得.所以数列的前项和为.15.（2016四川理19）已知数列的首项为，为数列的前项和，其中，.（1）若，成等差数列，求的通项公式；（2）设双曲线的离心率为，且，求证：.（2）由（1）可知，.所以双曲线的离心率 .由，解得.因为，所以.于是，故.安全生产工作怎么要求都不过份，怎么重视都不过份，安全生产无小事，安全生产责任重于泰山，抓好安全生产工作是极其重要的工作
