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1、全国各地接二连三地发生了多起特大安全事故,造成严重的人员伤亡,特别是北京密云、吉林商厦等特大安全事故,引起了党中央和国务院的高度关注考点12 数列热门题型题型1 等差数列与等比数列的基本量题型2 等差、等比数列的性质及其应用题型3 证明数列是等差、等比数列题型4 数列求和与求通项题型5数列与不等式题型1 等差数列与等比数列的基本量例1 (1)(2017全国3理14)设等比数列满足, ,则 _(2)(2017全国1理4)记为等差数列的前项和若,则的公差为( )A1 B2 C4 D8【解题技巧】等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式,共涉及到五个量,或,知道其中三个就可以求另外两个,体现方程的思
2、想,在求解此类问题时,使用,或建立方程是基本方法。变式1.(2015重庆理2)在等差数列中,若,则( ).A. B. 0 C. 1 D. 6解析 由等差中项知:,所以.故选B.变式2.(2017江苏09)等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则 题型2 等差、等比数列的性质及其应用例2.(1)(2015广东理10)在等差数列中,若,则 (2)(2015全国理4)等比数列满足,则( )A. B. C. D. 解析:(1)因为是等差数列,所以,即,所以故应填10(2)由题意可设等比数列的公比为,则由得,.又因为,所以.解得或(舍去),所以.故选B.【解题技巧】(1)等比数列中常用的性质:;若
3、,则(2)等差数列中常用的性质:;若,则(3)在等差数列中,为其前项和,则:数列,也是等差数列; 为等差数列;若,分别是等差数列,的前项和,则变式1.(2015北京理6)设是等差数列,下列结论中正确的是( ).A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则变式2.(2016全国乙理15)设等比数列满足,则的最大值为 .解析 由,得,又,得,故.解法一:由,得,得,且.故当或时,取得最大值,即.解法二:.故当或时,取得最大值.题型3 证明数列是等差、等比数列例3.(2016全国丙17)已知数列的前项和,.其中.(1)证明是等比数列,并求其通项公式;(2)若,求.(2)由(1)得.由,得,即,解得.
4、【解题技巧】证明数列是等差数列或等比数列的方法一般有两种:(1)定义法:,则是等差数列;,则是等比数列;(2)等差(比)中项:若,则是等差数列;若,则是等比数列.变式1.(2014 新课标1理17)已知数列的前项和为,其中为常数.(1)证明:;(2)是否存在,使得为等差数列?并说明理由.解:(1)由题设,两式相减得 由于,所以 (II)由题设,可得(2)由(I)知,令,解得故,由此可得是首项为1,公差为4的等差数列,;是首项为3,公差为4的等差数列,所以,.因此存在,使得数列为等差数列. 题型4 数列求和与求通项例4.(2015湖北理18)设等差数列的公差为d,前n项和为,等比数列的公比为q已
5、知,(1)求数列,的通项公式;(2)当时,记,求数列的前n项和 解析:(1)由题意有,即解得或故或【解题技巧】(1)数列求通项公式基本的方法是利用基本量,或,知道其中三个就可以求另外两个,体现方程的思想,在求解此类问题时,使用,或建立方程是基本方法。(2)错位相减法求数列的前n项和是常见的考点。例5.(2015全国1理17)为数列的前项和,已知,.(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前项和解析(1)由可得式式得又因为,所以当时,即,解得或(舍去),所以是首项为,公差为的等差数列,通项公式为(2)由可得记数列前项和为,则【解题技巧】(1)利用与的关系求数列的通项公式,注意验证是否满足;(2)裂
6、项相消法求和是一种常见的数列求和方法,将数列中的每一项拆成两项或多项,使这些拆开的项出现有规律的相互抵消,从而达到求和的目的。常见的裂项相消的方式有:;变式1.(2017全国3理9)等差数列的首项为1,公差不为0若,成等比数列,则数列前6项的和为( )ABC3D8解析:因为为等差数列,且成等比数列,设公差为,则,即.因为,代入上式可得,又,则,所以.故选A.变式2.(2015江苏卷11)设数列满足,且,则数列前项的和为 解析 解法一:可以考虑算出前项,但运算化简较繁琐解法二:由题意得,故累加得,从而,当时,满足通项故,则有变式3.(2015全国理16)设是数列的前项和,且,则_变式4.(201
7、5山东理18)设数列的前项和为. 已知.(1)求的通项公式;(2)若数列满足,求的前项和.解析 (1)因为,所以,故当时,此时,即,所以(2)因为,所以当时,所以;当时, 所以. 式式得:,所以经检验,时也适合综上可得题型5 数列与函数、不等式的综合例6.(2015广东理21)数列满足:.(1)求的值;(2)求数列的前项和;(3)令,求证:数列的前项和满足.(3)由题可得,所以,所以记,则当时,当时,所以在上单调递减,在上单调递增,所以当时,当时,所以,所以,所以,即有,所以,即变式1.(2015四川理16)设数列()的前项和满足,且,成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为
8、,求使得成立的的最小值. 分析:利用及题设可得与的关系为,所以这是一个公比为2的等比数列.再利用,成等差数列,可求得,从而求得通项公式;(2)由(1)得,这仍然是一个等比数列,利用等比数列的前项和公式,可求得,代入,即可得使成立的的最小值.解析:(1)由已知,可得,即.则,.又因为,成等差数列,即.所以,解得.所以数列是首项为2,公比为2的等比数列.故.【高考真题链接】1.(2016全国乙理3)已知等差数列前项的和为,则( ).A. B. C. D.解析:设等差数列的公差为,由,得. 又,则,得.故.故选C.2.(2015湖南理14)设为等比数列的前项和,若,且,成等差数列,则 .解析:因为,
9、成等差数列,所以,即,得,所以. 又因为为等比数列,所以.3.(2016天津理5)设是首项为正数的等比数列,公比为,则”“是”对任意的正整数,“的( ).A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析:由题意得,.由,故是必要不充分条件.故选C.4.(2016江苏8)已知是等差数列,是其前项和若,则的值是 解析 设公差为,则由题意可得,解得,则5.(2017北京理10)若等差数列和等比数列满足,则_.解析 由,则,由,则,则.故.6.(2017全国2理3)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?
10、”意思是:一座7层塔共挂了盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( ).A1盏 B3盏 C5盏 D9盏解析 设顶层灯数为,解得故选B.7.(2015安徽理14)已知数列是递增的等比数列,则数列的前项和等于 .解析 设等比数列的公比为,则,解得或(舍去),所以8.(2017全国2理15)等差数列的前项和为,则 解析 设首项为,公差为由,得,所以,.9.(2016全国甲理17)为等差数列的前项和,且,记,其中表示不超过的最大整数,如,(1)求,;(2)求数列的前项和10.(2014 新课标2理17)已知数列满足,.(1)证明是等比数列,并求的通项公式;(2)证明:.解:
11、(I)由得,又,所以是首项为,公比为3的等比数列。,因此的通项公式为.()由(I)知因为当时,所以,于是,所以 11.(2015天津理18)已知数列满足(为实数,且),且,成等差数列.(1)求的值和的通项公式;(2)设,求数列的前项和.分析: (1)由得,先求出,分为奇数与偶数讨论即可;(2)求出数列的通项公式,用错位相减法求和即可.解析 (1) 由,得,又(为实数,且),则,又因为,所以,当时,当时,所以的通项公式为(2)由(1)得,设数列的前项和为,则,两式相减得,整理得.所以数列的前项和为,.12.(2015天津理18)已知数列满足(为实数,且),且,成等差数列.(1)求的值和的通项公式
12、;(2)设,求数列的前项和.分析 (1)由得,先求出,分为奇数与偶数讨论即可;(2)求出数列的通项公式,用错位相减法求和即可.解析 (1) 由,得,又(为实数,且),则,又因为,所以,当时,当时,所以的通项公式为(2)由(1)得,设数列的前项和为,则,两式相减得,整理得.所以数列的前项和为,.13.(2016山东理18)已知数列的前项和,是等差数列,且(1)求数列的通项公式;(2)令求数列的前项和.解析 (1)由题意知当时,当时,所以.设数列的公差为,由,即,解得,所以.14.(2017天津理18)已知为等差数列,前项和为,是首项为2的等比数列,且公比大于0,.(1)求和的通项公式;(2)求数
13、列的前n项和.解析 (1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为.由已知,得,而,所以.又因为,解得.所以.由,可得 由,可得 联立,解得,由此可得.所以数列的通项公式为,数列的通项公式为.(2)设数列的前n项和为,由,有,故,上述两式相减,得,得.所以数列的前项和为.15.(2016四川理19)已知数列的首项为,为数列的前项和,其中,.(1)若,成等差数列,求的通项公式;(2)设双曲线的离心率为,且,求证:.(2)由(1)可知,.所以双曲线的离心率 .由,解得.因为,所以.于是,故.安全生产工作怎么要求都不过份,怎么重视都不过份,安全生产无小事,安全生产责任重于泰山,抓好安全生产工作是极其重要的工作