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1、10.4 变量间的相关关系、统计案例,知识梳理,考点自测,1.变量间的相关关系 (1)定义:当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系.与函数关系不同,相关关系是一种 . (2)散点图:表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图,它可直观地判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示.若这些散点分布在从左下角到右上角的区域,则称两个变量 ;若这些散点分布在从左上角到右下角的区域,则称两个变量 . (3)线性相关关系、回归直线:如果散点图中点的分布从整体上看大致在 ,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.,非确定性关系,正相关,负相关
2、,一条直线附近,知识梳理,考点自测,(4)非线性相关:若散点图上所有点看上去都在 附近波动,则称此相关为非线性相关.此时,可以用 来拟合. (5)不相关:如果所有的点在散点图中 ,那么称变量间是不相关的.,某条曲线,一条曲线,没有显示任何关系,知识梳理,考点自测,2.两个变量的线性相关 (1)从散点图上看,如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近,称两个变量之间具有 ,这条直线叫做 .,线性相关关系,回归直线,知识梳理,考点自测,当r0时,表明两个变量正相关; 当r0时,表明两个变量负相关. r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0时,表明两个
3、变量之间几乎不存在线性相关关系.通常当|r|大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性.,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,3.独立性检验 (1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这类变量称为分类变量. (2)22列联表:假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分别为x1,x2和y1,y2,其样本频数列联表(称22列联表)为:,(3)用K2的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设H0,若K2值较大,就拒绝H0,即拒绝事件A与B无关.,知识梳理,考点自测,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系,也是一种因果关系.
4、( ) (2)利用散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示. ( ) (3)只有两个变量有相关关系,所得到的回归模型才有预测价值. ( ) (4)事件X,Y关系越密切,则由观测数据计算得到的K2的观测值越大. ( ) (5)通过回归方程 可以估计和观测变量的取值和变化趋势. ( ),知识梳理,考点自测,A,知识梳理,考点自测,3.(2017辽宁葫芦岛一模,文8)广告投入对商品的销售额有较大影响.某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计,得到统计数据如下表(单位:万元):,A.101.2万元 B.108.8万元 C.111.2万元 D.118.2万元,C,知识梳理,考点自测,4
5、.在一次对性别与说谎是否相关的调查中,得到如下数据:,根据表中数据,得到如下结论正确的一项是( ) A.在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关 B.在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关 C.在此次调查中有99.5%的把握认为是否说谎与性别有关 D.在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关,D,知识梳理,考点自测,考点一,考点二,考点三,相关关系的判断 例1(1)(2017河南洛阳模拟)为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图(x轴、y轴的单位长度相同),用回归直线方程 近似地刻画其相关关系,根据图形,以下结论最有可能
6、成立的是( ),A.线性相关关系较强,b的值为1.25 B.线性相关关系较强,b的值为0.83 C.线性相关关系较强,b的值为-0.87 D.线性相关关系较弱,无研究价值,B,考点一,考点二,考点三,(2)甲、乙、丙、丁四名同学各自对A,B两个变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表:,则哪名同学的试验结果体现A,B两个变量有更强的线性相关性( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁,D,考点一,考点二,考点三,解析: (1)由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近,所以线性相关关系较强,且应为正相关,所以回归直线方程的斜率应为正数,且从散点图观察,回
7、归直线方程的斜率应该比y=x的斜率要小一些,综上可知应选B. (2)在验证两个变量之间的线性相关关系时,相关系数的绝对值越接近1,相关性越强,在四个选项中只有丁的相关系数最大;残差平方和越小,相关性越强,只有丁的残差平方和最小,综上可知丁的试验结果体现了A,B两个变量有更强的线性相关性,故选D.,考点一,考点二,考点三,思考如何判断两个变量有无相关关系? 解题心得判断两个变量有无相关关系有两个方法:一是根据散点图,具有很强的直观性,直接得出两个变量是正相关或负相关;二是计算相关系数法,这种方法能比较准确地反映相关程度,相关系数的绝对值越接近1,相关性就越强,相关系数就是描述相关性强弱的.,考点
8、一,考点二,考点三,对点训练1(1)对四组数据进行统计,获得如图所示的散点图,关于其相关系数的比较,正确的是( ),A.r2r40r3r1 B.r4r20r1r3 C.r4r20r3r1 D.r2r40r1r3,A,考点一,考点二,考点三,D,考点一,考点二,考点三,解析: (1)易知题中图(1)与图(3)是正相关,图(2)与图(4)是负相关,且图(1)与图(2)中的样本点集中分布在一条直线附近,故r2r40r3r1. (2)正相关指的是y随x的增大而增大,负相关指的是y随x的增大而减小,故不正确的为,故选D.,考点一,考点二,考点三,回归方程的求法及回归分析 例2一次考试中,五名学生的数学、
9、物理成绩(单位:分)如下表所示:,(1)要从5名学生中选2人参加一项活动,求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率; (2)根据上表数据,作出散点图,并求变量y与x的相关系数说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱.如果具有较强的线性相关关系,求y与x的线性回归方程(系数精确到0.01);如果不具有线性相关关系,请说明理由.,考点一,考点二,考点三,考点一,考点二,考点三,考点一,考点二,考点三,考点一,考点二,考点三,思考对已知的两个变量的一组数据如何做回归分析? 解题心得1.在分析两个变量的相关关系时,可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系;若具有线性
10、相关关系,则可通过线性回归方程来估计和预测.,考点一,考点二,考点三,对点训练2(2017四川成都诊断)PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物),为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关,现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表:,(1)根据上表数据,用最小二乘法求出y与x的线性回归方程; (2)若周六同一时段车流量是200万辆,试根据(1)求出的线性回归方程,预测此时PM2.5的浓度为多少.,考点一,考点二,考点三,考点一,考点二,考点三,考点一,考点二,考点三,独立性检验 例3(2017福建厦门一模,文18)为了响应厦门市政府“低碳
11、生活,绿色出行”的号召,思明区委文明办率先全市发起“少开一天车,呵护厦门蓝”绿色出行活动.“从今天开始,从我做起,力争每周至少一天不开车,上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车,鼓励拼车”铿锵有力的话语,传递了绿色出行、低碳生活的理念. 某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数,统计如下:,考点一,考点二,考点三,若规定:18岁至44岁为青年人,45岁至59岁为中年人,60岁及以上为老年人.用样本估计总体的思想,解决如下问题: (1)估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数; (2)若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”,根据这些数据,能否在犯错误的概率不超过0.001
12、的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关?,考点一,考点二,考点三,解 (1)估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数为(205+4015+4025+20035+20045+30055)(20+40+40+200+200+300)=42.75. (2)22列联表如下:,故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关.,考点一,考点二,考点三,思考独立性检验得出的结论是什么?它对我们日常生活有什么帮助? 解题心得独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系,利用独立性检验,能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测,并能较为准确地给出这种判断的可信度
13、;具体做法是根据公式 ,计算随机变量的观测值k,k值越大,说明“两个变量有关系”的可能性越大.,考点一,考点二,考点三,对点训练3(2017广东、江西、福建十校联考,文18)某校卫生所成立了调查小组,调查“按时刷牙与不患龋齿的关系”,对该校某年级800名学生进行检查,按患龋齿和不患龋齿分类,得汇总数据:按时刷牙且不患龋齿的学生有160名,不按时刷牙但不患龋齿的学生有100名,按时刷牙但患龋齿的学生有240名. (1)该校4名校卫生所工作人员甲、乙、丙、丁被随机分成两组,每组2人,一组负责数据收集,另一组负责数据处理,求工作人员甲、乙分到同一组的概率. (2)是否有99.9%的把握认为该年级学生
14、按时刷牙与不患龋齿有关系?,考点一,考点二,考点三,解 (1)4人分组的所有情况如下表.,因此4人分组的情况共有6种,其中工作人员甲乙分到同一组有2种, 所以工作人员甲、乙分到同一组的概率是,考点一,考点二,考点三,(2)根据题意,列22联表如下.,所以有99.9%的把握认为该年级学生按时刷牙与不患龋齿有关系.,考点一,考点二,考点三,2.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要解决:(1)确定特定量之间是否有相关关系,如果有,就找出它们之间贴近的数学表达式;(2)根据一组观测值,预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势;(3)求出线性回归方程. 3.根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度,并用来指导科研和实际生活.,考点一,考点二,考点三,1.相关关系与函数关系的区别 相关关系与函数关系不同,函数关系中的两个变量之间是一种确定性关系.例如正方形面积S与边长x之间的关系S=x2就是函数关系.相关关系是一种非确定性关系,即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.例如商品的销售额与广告费之间的关系是相关关系.两个变量具有相关关系是回归分析的前提. 2.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法,只有在散点图大致呈线性分布时,求出的线性回归方程才有实际意义,否则,求出的线性回归方程毫无意义.根据回归方程进行预报,仅是一个预报值,而不是真实发生的值.,
