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1、9.7 抛物线,知识梳理,考点自测,1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ,直线l叫做抛物线的 . 2.抛物线的标准方程 (1)顶点在坐标原点,焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为 ; (2)顶点在坐标原点,焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为 ; (3)顶点在坐标原点,焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为 ; (4)顶点在坐标原点,焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为 .,距离相等,焦点,准线,y2=2px(p0),y2=-2px(p0),x2=2py(p0),x2=-2py(p0),知识梳理,考点自测,3.抛物
2、线的几何性质,(0,0),y=0,x=0,1,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,1.设AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则,知识梳理,考点自测,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. ( ) (2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切. ( ) (3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p0). ( ) (4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形. ( ) (5)方程y=ax2(a0)表示的曲线是焦
3、点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是 . ( ),知识梳理,考点自测,C,3.(2017安徽蚌埠一模,文7)M是抛物线C:y2=2px(p0)上一点,F是抛物线C的焦点,O为坐标原点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则MKO=( ) A.15 B.30 C.45 D.60,C,知识梳理,考点自测,4.(2017福建龙岩一模,文14)过抛物线C:x2=4y的焦点F作直线l交抛物线C于A,B两点,若|AB|=5,则线段AB中点的纵坐标为 .,5.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交抛物线C于A,B两点,则|AB|= .,12,考点一,考点二,考点三,考点四,考
4、点五,抛物线的定义及其应用,C,B,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,思考如何灵活应用抛物线的定义解决距离问题? 解题心得1.由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化. 2.注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,对点训练1(1)(2017河南濮阳一模,文9)抛物线y2=2px(p0)的焦点为圆x2+y2-6x=0的圆心,过圆心且斜率为2的直线l与抛物线相交于M,N两点,则|MN|=( ) A.30 B.25 C.20 D.15,D,C,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点
5、一,考点二,考点三,考点四,考点五,抛物线的方程及几何性质,B,D,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,思考求抛物线标准方程的常用方法和关键是什么? 解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0). 2.抛物线几何性质的确定,由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五
6、,对点训练2(1)(2017宁夏银川模拟)直线l过抛物线x2=2py(p0)的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是6,AB的中点到x轴的距离是1,则此抛物线方程是( ) A.x2=12y B.x2=8y C.x2=6y D.x2=4y (2)(2017广西玉林、贵港一模,文15)已知椭圆 与抛物线y2=2px(p0)交于A,B两点,|AB|=2,则p= .,B,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,与抛物线相关的最值问题,(2)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小
7、值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10,C,A,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,思考求与抛物线有关的最值问题的一般思路是怎样的? 解题心得与抛物线有关的最值问题的两个转化策略 转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得以解决. 转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,D,5,考点一,考点二,考
8、点三,考点四,考点五,解析: (1)过点M作抛物线y2=2x左准线的垂线,垂足是N(图略),则|MF|+|MA|=|MN|+|MA|,当A,M,N三点共线时,|MF|+|MA|取得最小值,此时点M的坐标为(2,2). (2)依题意,由点M向抛物线x2=4y的准线l:y=-1作垂线,垂足为M1(图略),则有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|,则|MA|+|MM1|的最小值等于圆心C(-1,5)到y=-1的距离再减去圆C的半径,即等于6-1=5,因此|MA|+|MF|的最小值是5.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,例4(1)(2017天津,文12)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为
9、l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若FAC=120,则圆的方程为 .,抛物线与其他圆锥曲线的综合,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,思考求解抛物线与其他圆锥曲线的小综合问题要注意什么? 解题心得求解抛物线与其他圆锥曲线的小综合问题,要注意距离的转换,将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线的距离,这样可以简化运算过程.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,对点训练4(1)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2
10、),则抛物线C的方程为( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x,C,D,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,直线与抛物线的关系 例5 (2017河南南阳一模,文20)如图,抛物线C:y2=2px的焦点为F,抛物线上一定点Q(1,2). (1)求抛物线C的方程及准线l的方程; (2)过焦点F的直线(不经过点Q)与抛物线交于A,B两点,与准线l交于点M,记QA,QB,QM的斜率分别为k1,k2,k3,问是否存在常数,使得k1+k2=k
11、3成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,思考求解抛物线综合问题的一般方法是怎样的? 解题心得求解抛物线综合问题的方法 (1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似,一般是用方程法,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用. (2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p(焦点在x轴正半轴),若不过焦点,则必
12、须用弦长公式.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,对点训练5(2017福建泉州一模,文20)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,点A在抛物线C上,若|AO|=|AF|= . (1)求抛物线C的方程; (2)设直线l与抛物线C交于点P,Q,若线段PQ的中点的纵坐标为1,求OPQ的面积的最大值.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,1.认真区分四种形式的标准方程: (1)区分y=ax2与y2=2px(p0),前者不是抛物线的标准方程. (2)求抛物线标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0). 2.解决有关抛物线的焦点弦问题,熟记有关的常用结论是突破解题思路、提高解题速度的有效途径.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值,但首先要判断抛物线是不是标准方程,以及是哪一种标准方程. 2.求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题,要多从抛物线的定义入手,这样可以简化问题.,
