《（浙江专用）2019高考数学二轮复习 专题三 数列与不等式 第1讲 等差数列与等比数列学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（浙江专用）2019高考数学二轮复习 专题三 数列与不等式 第1讲 等差数列与等比数列学案（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1讲等差数列与等比数列考情考向分析1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.等差、等比数列的判定及综合应用也是高考考查的重点，注意基本量及定义的使用，考查分析问题、解决问题的综合能力热点一等差数列、等比数列的运算1.通项公式等差数列：ana1(n1)d；等比数列：ana1qn1.2求和公式等差数列：Snna1d；等比数列：Sn3性质若mnpq，在等差数列中amanapaq；在等比数列中amanapaq.例1(1)(2018全国)记Sn为等差数列an的前n项和，若3S3S2S4，a12，则a5等于()A12 B10 C10 D12答案B解析设等差数列an的公差为d
2、，由3S3S2S4，得32a1d4a1d，将a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10.故选B.(2)(2018杭州质检)设各项均为正数的等比数列an中，若S480，S28，则公比q_，a5_.答案3162解析由题意可得，S4S2q2S2，代入得q29.等比数列an的各项均为正数，q3，解得a12，故a5162.思维升华在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量跟踪演练1(1)(2018浙江省重点中学联考)设Sn为等差数列an的前n项和，若a12 017，S62S318，则S
3、2 019等于()A2 016 B2 019 C2 017 D2 018答案B解析在等差数列an中，设公差为d.S62S318，a4a5a6(a1a2a3)9d18.d2，S2 0192 019a12 0192 0182 0192 0172 019，故选B.(2)(2018全国)等比数列an中，a11，a54a3.求an的通项公式；记Sn为an的前n项和，若Sm63，求m.解设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1(nN*)若an(2)n1，则Sn.由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n
4、1.由Sm63得2m64，解得m6.综上，m6.热点二等差数列、等比数列的判定与证明证明数列an是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法利用定义，证明an1an(nN*)为一常数；利用等差中项，即证明2anan1an1(n2，nN*)(2)证明数列an是等比数列的两种基本方法利用定义，证明(nN*)为一常数；利用等比中项，即证明aan1an1(n2，nN*)例2已知数列an，bn，其中a13，b11，且满足an(3an1bn1)，bn(an13bn1)，nN*，n2.(1)求证：数列anbn为等比数列；(2)求数列的前n项和Tn.(1)证明anbn(3an1bn
5、1)(an13bn1)2(an1bn1)，又a1b13(1)4，所以anbn是首项为4，公比为2的等比数列(2)解由(1)知，anbn2n1，又anbn(3an1bn1)(an13bn1)an1bn1，又a1b13(1)2，所以anbn为常数数列，anbn2，联立得，an2n1，所以，所以Tn(nN*)思维升华(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证明方法(2)aan1an1(n2)是数列an为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零跟踪演练2已知an是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且Sn为an与的等差中项(1)求证：数列S为等差数列
6、；(2)求数列an的通项公式；(3)设bn，求bn的前n项和Tn.(1)证明由题意知2Snan，即2Snana1，(*)当n2时，有anSnSn1，代入(*)式得2Sn(SnSn1)(SnSn1)21，整理得SS1(n2)又当n1时，由(*)式可得a1S11，数列S是首项为1，公差为1的等差数列(2)解由(1)可得S1n1n，数列an的各项都为正数，Sn，当n2时，anSnSn1，又a1S11满足上式，an(nN*)(3)解由(2)得bn(1)n()，当n为奇数时，Tn1(1)()()()，当n为偶数时，Tn1(1)()()()，数列bn的前n项和Tn(1)n(nN*)热点三等差数列、等比数列
7、的综合问题解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解例3已知等差数列an的公差为1，且a2a7a126.(1)求数列an的通项公式an与其前n项和Sn；(2)将数列an的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项，记bn的前n项和为Tn，若存在mN*，使得对任意nN*，总有SnTm恒成立，求实数的取值范围解(1)由a2a7a126，得a72，a14，an5n，从而Sn(nN*)(2)由题意知b14，b22，b31，设等比数列bn的公比为q，则q，Tm8，m随m的增加而减少，T
8、m为递增数列，得4Tm8.又Sn(n29n)，故(Sn)maxS4S510，若存在mN*，使得对任意nN*，总有SnTm，则102.即实数的取值范围为(2，)思维升华(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解跟踪演练3已知数列an的前n项和为Sn，且Sn13(an1)，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足an1若bnt对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围解(1)由已知得Sn3an2，
9、令n1，得a11，又an1Sn1Sn3an13an，得an1an，所以数列an是以1为首项，为公比的等比数列，所以ann1(nN*)(2)由an1 得bnn1nn1，所以bn1bn(n1)nnn1(2n)，所以(bn)maxb2b3，所以t.即t的取值范围为.真题体验1(2017全国改编)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为_答案4解析设an的公差为d，由得解得d4.2(2017浙江改编)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4S62S5”的_条件答案充要解析方法一数列an是公差为d的等差数列，S44a16d，S55a110d，S66a1
10、15d，S4S610a121d,2S510a120d.若d0，则21d20d,10a121d10a120d，即S4S62S5.若S4S62S5，则10a121d10a120d，即21d20d，d0.“d0”是“S4S62S5”的充要条件方法二S4S62S5S4S4a5a62(S4a5)a6a5a5da5d0.“d0”是“S4S62S5”的充要条件3(2017北京)若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，则_.答案1解析设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，则由a4a13d，得d3，由b4b1q3，得q38，q2.1.4(2017江苏)等比数列an的各项均为实数，其前
11、n项和为Sn，已知S3，S6，则a8_.答案32解析设an的首项为a1，公比为q，则解得所以a8272532.押题预测1设等差数列an的前n项和为Sn，且a10，a3a100，a6a70的最大自然数n的值为()A6 B7C12 D13押题依据等差数列的性质和前n项和是数列最基本的知识点，也是高考的热点，可以考查学生灵活变换的能力答案C解析a10，a6a70，a70，a1a132a70，S130的最大自然数n的值为12.2在等比数列an中，a33a22，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则an的公比等于()A3 B2或3C2 D6押题依据等差数列、等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和灵
12、活性，是高考出题的重点答案C解析设公比为q,5a4为12a3和2a5的等差中项，可得10a412a32a5，10a3q12a32a3q2，得10q122q2，解得q2或3.又a33a22，所以a2q3a22，即a2(q3)2，所以q2.3已知各项都为正数的等比数列an满足a7a62a5，存在两项am，an使得4a1，则的最小值为()A. B.C. D.押题依据本题在数列、方程、不等式的交汇处命题，综合考查学生应用数学的能力，是高考命题的方向答案A解析由a7a62a5，得a1q6a1q52a1q4，整理得q2q20，解得q2或q1(不合题意，舍去)又由4a1，得aman16a，即a2mn216a，即有mn24，亦即mn6，那么(mn)，当且仅当，即n2m4时取等号4定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(，0)
