高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题2 数列 第4讲 数列求和教学案 理

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1、安全教育学习是提高员工安全防范意识的重要措施。“百日安全活动”开展以来,保卫部从自身着手对本部门所有员工开展集中安全教育培训第4讲数列求和题型1数列中an与Sn的关系(对应学生用书第11页)核心知识储备1数列an中,an与Sn的关系:an2求数列an通项的方法:(1)叠加法形如anan1f(n)(n2)的数列应用叠加法求通项公式,ana1f(k)(和可求)(2)叠乘法形如f(n)(n2)的数列应用叠乘法求通项公式,ana1(积可求)(3)待定系数法形如anan1(n2,1,0)的数列应用待定系数法求通项公式,an典题试解寻法【典题1】(考查已知an与Sn的递推关系求Sn)已知数列an满足an1

2、3an2.若首项a12,则数列an的前n项和Sn_.解析因为an13an2,所以an113(an1),故an1是以a113为首项,3为公比的等比数列,所以an13n,所以an3n1.Sna1a2an(311)(321)(3n1)(31323n)nnn,所以Snn.答案【典题2】(考查已知an与Sn的递推关系求an)数列an中,a11,Sn为数列an的前n项和,且满足1(n2)求数列an的通项公式解由已知,当n2时,1,所以1,即1,所以.又S1a11,所以数列是首项为1,公差为的等差数列,所以1(n1),即Sn.所以当n2时,anSnSn1.因此an类题通法给出Sn与an的递推关系,求an,常

3、用思路:一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.提醒:在利用anSnSn1(n2)求通项公式时,务必验证n1时的情形对点即时训练1已知数列an满足an1,若a1,则a2 018()A1BC1D2D由a1,an1,得a22,a31,a4,a52,于是归纳可得a3n2,a3n12,a3n1,因此a2 018a367222.故选D.2已知数列an前n项和为Sn,若Sn2an2n ,则Sn_.n2n(nN*)由Sn2an2n得当n1时,S1a12;当n2时,Sn2(SnSn1)2n,即1,所以数列是首项为1,公差

4、为1的等差数列,则n,Snn2n(n2),当n1时,也符合上式,所以Snn2n(nN*)题型强化集训(见专题限时集训T1、T2、T3、T4、T5、T7、T8、T10、T11、T12)题型2裂项相消法求和(答题模板)(对应学生用书第12页)裂项相消法是指把数列与式中的各项分别裂开后,某些项可以相互抵消从而求和的方法,主要适用于或(其中an为等差数列)等形式的数列求和(2017全国卷T15、2015全国卷T17、2015全国卷T16)典题试解寻法【典题】(本小题满分12分)(2015全国卷)Sn为数列an的前n项和已知an0,.(1)求an的通项公式;(2)设,求数列bn的前n项和. 【导学号:0

5、7804027】审题指导题眼挖掘关键信息看到a2an4Sn3,想到a2an14Sn13,两式作差,求an.看到bn,想到先求bn,想到能否裂项.规范解答(1)由a2an4Sn3,可知.1分两式相减可得aa2(an1an)4an1,2分即.由于,所以an1an2.4分又由a2a14a13,解得a11(舍去)或a13.5分所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an2n1.6分(2)由an2n1可知bn.8分设数列bn的前n项和为Tn,则Tnb1b2bn.12分阅卷者说易错点防范措施忽视an与Sn的关系导致思路不清.anSnSn1(n2)是联系an与Sn的桥梁,常借助其实现互化关系.忽视

6、化简、因式分解致误.当等式中出现二元二次方程时,常考虑因式分解.忽视题设条件an0,导致增解.对题设条件可适当标注,以引起注意,同时解题后要反思总结.忽视裂项或裂项后与原式不等价.形如的数列常用裂项相消法求和,裂项后要注意系数的变化.类题通法裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成anbnkbn(k1,kN*)的形式,常见的裂项方式有:提醒:在裂项变形时,务必注意裂项前的系数.对点即时训练(2017郑州第三次质量预测)已知数列an的前n项和为Sn,a12,且满足Snan1n1(nN*)(1)求数列an的通项公式;(2)若bnlog3(an1),设数列的前n项和为Tn,求证:Tn.解(1)由Sn

7、an1n1(nN*),得Sn1ann(n2,nN*),两式相减,并化简,得an13an2,即an113(an1),又a112130,所以an1是以3为首项,3为公比的等比数列,所以an1(3)3n13n.故an3n1.(2)证明:由bnlog3(an1)log33nn,得,Tn.题型强化集训(见专题限时集训T6、T9、T13)题型3错位相减法求和(对应学生用书第13页)核心知识储备错位相减法:用于等差数列an,等比数列bn构成的数列anbn,乘公比q作差典题试解寻法【典题】设数列an满足a13a232a33n1an,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn,求数列bn的前n项和Sn.

8、【导学号:07804028】解(1)因为a13a232a33n1an,所以当n2时,a13a232a33n2an1,由得3n1an,所以an(n2)在中,令n1,得a1,适合an,所以an(nN*)(2)证明:由(1)可得bnn3n,Sn131232333n3n,3Sn132233334n3n1,由得2Sn33233343nn3n1n3n1,故Sn.类题通法 用错位相减法求和时,应注意:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“SnqSn”的表达式.(3)应用等比数列求和公式必须注意

9、公比q是否等于1,如果不能确定公比q是否为1,应分两种情况进行讨论,这在以前的高考中经常考查.对点即时训练已知等比数列an的前n项和为Sn,公比q0,S22a22,S3a42.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn,求bn的前n项和Tn.解(1)S22a22,S3a42,得a3a42a2,则q2q20,又q0,q2.S22a22,a1a22a22,a1a1q2a1q2,a12.an2n.(2)由(1)知bn,Tn,Tn.错位相减得Tn,可得Tn2.题型强化集训(见专题限时集训T14)三年真题| 验收复习效果(对应学生用书第14页)1(2017全国卷)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应

10、用软件为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推求满足如下条件的最小整数N:N100且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是()A440B330C220D110A设首项为第1组,接下来的两项为第2组,再接下来的三项为第3组,依此类推,则第n组的项数为n,前n组的项数和为.由题意知,N100,令100n14且nN*,即N出现在第13组之后第n组的各项和为2n1,前n组

11、所有项的和为n2n12n.设N是第n1组的第k项,若要使前N项和为2的整数幂,则N项的和即第n1组的前k项的和2k1应与2n互为相反数,即2k12n(kN*,n14),klog2(n3)n最小为29,此时k5,则N5440.故选A.2(2017全国卷)等差数列an的前n项和为Sn,a33,S410,则_. 【导学号:07804029】设等差数列an的公差为d,则由得Snn11,2.22.3(2015全国卷)设Sn是数列an的前n项和,且a11,an1SnSn1,则Sn_.an1Sn1Sn,an1SnSn1,Sn1SnSnSn1.Sn0,1,即1.又1,是首项为1,公差为1的等差数列1(n1)(1)n,Sn.4.(2016全国卷)Sn为等差数列an的前n项和,且a11,S728.记bnlg an,其中x表示不超过x的最大整数,如0.90,lg 991.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列bn的前1 000项和解(1)设an的公差为d,据已知有721d28,解得d1.所以an的通项公式为ann.b1lg 10,b11lg 111,b101lg 1012.(2)因为bn所以数列bn的前1 000项和为1902900311 893.在治

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