《陕西省西安市长安区第五中学高中数学必修一学案：1.3.2函数的奇偶性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《陕西省西安市长安区第五中学高中数学必修一学案：1.3.2函数的奇偶性（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3.2函数的奇偶性学案知识梳理1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x）或f（x）+ f（x）=0，则称f（x）为奇函数.2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x）或f（x）f（x）=0，则称f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（，+）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成
2、一个奇函数与一个偶函数之和.中华.资*源%库 点击双基1.下面四个结论中，正确命题的个数是偶函数的图象一定与y轴相交 奇函数的图象一定通过原点 偶函数的图象关于y轴对称 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（xR）A.1 B.2 C.3 D.4解析：不对；不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；正确；不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0x（a，a）.答案：A2.已知函数f（x）=ax2bxc（a0）是偶函数，那么g（x）=ax3bx2cx是A.奇函数 B.偶函数C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数解析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax3cx（a0）为奇函数.
3、答案：A3.若偶函数f（x）在区间1，0上是减函数，、是锐角三角形的两个内角，且，则下列不等式中正确的是A.f（cos）f（cos） B.f（sin）f（cos）C.f（sin）f（sin） D.f（cos）f（sin）解析：偶函数f（x）在区间1，0上是减函数，f（x）在区间0，1上为增函数.由、是锐角三角形的两个内角，+90，90.1sincos0.f（sin）f（cos）.答案：B4.已知f（x）ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1，2a，则a_，b_.解析：定义域应关于原点对称，故有a12a，得a.又对于所给解析式，要使f（x）f（x）恒成立，应b0.答案： 05.给定函数:y=
4、（x0）；y=x2+1；y=2x；y=log2x；y=log2（x+）.在这五个函数中，奇函数是_，偶函数是_，非奇非偶函数是_.答案： 典例剖析【例1】 已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x2）在0，2上是单调减函数，则A.f（0）f（1）f（2） B.f（1）f（0）f（2）C.f（1）f（2）f（0） D.f（2）f（1）f（0）剖析：由f（x2）在0，2上单调递减，f（x）在2，0上单调递减.y=f（x）是偶函数，f（x）在0，2上单调递增.又f（1）=f（1），故应选A.答案：A【例2】 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1）；（3）f（
5、x）=；（4）f（x）=剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x（，+），对称于原点.f（x）=|x+1|x1|=|x1|x+1|=（|x+1|x1|）=f（x），f（x）=|x+1|x1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由0，得1x1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由得故f（x）的定义域为1，0）（0，1，关于原点对称，且有x+20.从而有f（x）= =，这时有f（x）=f（x），故f（x）为奇函数.（4）函数f（x）的定义域是（，0）（0，+），并且当x0时，x0，f（x）=（x）1（x）=x（1+x
6、）=f（x）（x0）.当x0时，x0，f（x）=x（1x）=f（x）（x0）.故函数f（x）为奇函数.评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】 （2005年北京东城区模拟题）函数f（x）的定义域为D=x|x0，且满足对于任意x1、x2D，有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）.（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x6）3，且f（x）在（0，+）上是增函数，求x的取值范围.（1）解：令x1=x2=1，有f（11）=f（1）+f（1），解得f（1）=0.（2）证明：令x1
7、=x2=1，有f（1）（1）=f（1）+f（1）.解得f（1）=0.令x1=1，x2=x，有f（x）=f（1）+f（x），f（x）=f（x）.f（x）为偶函数.（3）解：f（44）=f（4）+f（4）=2，f（164）=f（16）+f（4）=3.f（3x+1）+f（2x6）3即f（3x+1）（2x6）f（64）.（*）f（x）在（0，+）上是增函数，（*）等价于不等式组或或或3x5或x或x3.x的取值范围为x|x或x3或3x5.评述：解答本题易出现如下思维障碍：（1）无从下手，不知如何脱掉“f”.解决办法:利用函数的单调性.（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数
8、的单调性相同，偶函数的单调性相反.深化拓展已知f（x）、g（x）都是奇函数，f（x）0的解集是（a2，b），g（x）0的解集是（，），a2，那么f（x）g（x）0的解集是A.（，） B.（b，a2）C.（a2，）（，a2） D.（，b）（b2，a2）提示：f（x）g（x）0或x（a2，）（，a2）.答案：C【例4】 （2004年天津模拟题）已知函数f（x）=x+m（p0）是奇函数.（1）求m的值.（2）（理）当x1，2时，求f（x）的最大值和最小值.（文）若p1，当x1，2时，求f（x）的最大值和最小值.解：（1）f（x）是奇函数，f（x）=f（x）.x+m=xm.2m=0.m=0.（2）（理
9、）（）当p0时，据定义可证明f（x）在1，2上为增函数.f（x）max=f（2）=2+，f（x）min=f（1）=1+p.（）当p0时，据定义可证明f（x）在（0，上是减函数，在，+）上是增函数.当1，即0p1时，f（x）在1，2上为增函数，f（x）max=f（2）=2+，f（x）min=f（1）=1+p.当1，2时，f（x）在1，p上是减函数.在p，2上是增函数.f（x）min=f（）=2.f（x）max=maxf（1），f（2）=max1+p，2+.当1p2时，1+p2+，f（x）max=f（2）；当2p4时，1+p2+，f（x）max=f（1）.当2，即p4时，f（x）在1，2上为减函数
10、，f（x）max=f（1）=1+p，f（x）min=f（2）=2+.（文）解答略.评述：f（x）=x+（p0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法.1.2函数的基本性质要点精讲1奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 由函数的奇偶性定义可知，函数
11、具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f(x)与f(x)的关系； 作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数。（3）简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇
12、=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数y= f，其中u=g(x) , A
13、是y= f定义域的某个区间，B是映射g : xu=g(x) 的象集：若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= f在A上是增函数；若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y= f在A上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2D，且x1x2； 作差f(x1)f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）； 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。（5）简单性质奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反； 在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。3最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)
