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1、第二章 数 列,2.5 等比数列的前n项和(二),1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题. 2.应用方程的思想解决与等比数列前n项和有关的问题.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 等比数列前n项和的变式,答案,na1,答案,AqnA,思考 在数列an中，an1can(c为非零常数)且前n项和Sn3n1k，则实数k等于_.,答案,答案,等比,q,思考 在等比数列an中，若a1a220，a3a440，则S6等于( ) A.140 B.120 C.210 D.520,返回,解析答案,解析 S220，S4S240，S6
2、S480， S6S480S24080140.,A,题型探究 重点突破,题型一 等比数列前n项和的性质 例1 (1)等比数列an中，S27，S691，则S4_.,解析答案,解析 数列an是等比数列， S2，S4S2，S6S4也是等比数列， 即7，S47,91S4也是等比数列， (S47)27(91S4)，解得S428或S421. 又S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2 (a1a2)(1q2)S2(1q2)0， S428.,28,(2)等比数列an共有2n项，其和为240，且(a1a3a2n1)(a2a4a2n)80，则公比q_.,解析答案,反思与感悟,2,解决有关等比数列前n项和的问题时
3、，若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，常常可以避繁就简.不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q的讨论.解题中把握好等比数列前n项和性质的使用条件，并结合题设条件寻找使用性质的切入点，方可使“英雄”有用武之地.,反思与感悟,解析答案,即1q33，所以q32.,(2)一个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求通项公式.,解析答案,解 设数列an的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇、S偶，由题意知 S奇S偶4S偶，即S奇3S偶.,题型二 等比数列前n项和的实际应用 例2 小华准备购买一台售价为5 000元的电脑，采
4、用分期付款方式，并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少.,解析答案,反思与感悟,解 方法一 设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则： A25 000(10.008)2x5 0001.0082x， A4A2(10.008)2x5 0001.00841.0082xx， A125 0001.00812(1.008101.00881.00821)x0，,解析答案,反思与感悟,故小华每期付款金额约为880.8元.,方法二
5、 设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则： A2x； A4A2(10.008)2xx(11.0082)； A6A4(10.008)2xx(11.00821.0084)； A12x(11.00821.00841.00861.00881.00810). 年底付清欠款，A125 0001.00812， 即5 0001.00812x(11.00821.00841.00810)，,故小华每期付款金额约为880.8元.,反思与感悟,分期付款问题是典型的求等比数列前n项和的应用题，此类题目的特点是：每期付款数相同，且每期间距相同.解决这类问题有两种处理方法，如本题中方法一是按欠款数计算，由
6、最后欠款为0列出方程求解；而方法二是按付款数计算，由最后付清全部欠款列方程求解.,反思与感悟,解析答案,返回,解析答案,题型三 新情境问题 例3 定义：若数列An满足An1An，则称数列An为“平方数列”.已知数列an中，a12，点(an，an1)在函数f(x)2x22x的图象上，其中n为正整数. (1)证明：数列2an1是“平方数列”，且数列lg(2an1)为等比数列；,解析答案,2,数列2an1是“平方数列”. lg(2an11)lg(2an1)22lg(2an1)， 且lg(2a11)lg 50，,lg(2an1)是首项为lg 5，公比为2的等比数列.,(2)设(1)中“平方数列”的前n
7、项之积为Tn，则Tn(2a11)(2a21)(2an1)，求数列an的通项及Tn关于n的表达式；,解析答案,解 lg(2a11)lg 5，lg(2an1)2n1lg 5.,lg Tnlg(2a11)lg(2a21)lg(2an1),(2n1)lg 5，,Tn 1.,(3)对于(2)中的Tn，记bnlog Tn，求数列bn的前n项和Sn，并求使Sn4 024的n的最小值.,解析答案,2an1,反思与感悟,解析答案,2an1,n的最小值为2 013.,反思与感悟,数列创新题的特点及解题关键 特点：叙述复杂，关系条件较多，难度较大. 解题关键：读清条件要求，理清关系，逐个分析.,反思与感悟,跟踪训练
8、3 记U1，2，100对数列an(nN*)和U的子集T，若T，定义ST0；若Tt1，t2，tk，定义STat1at2atk.例如：T1，3，66时，STa1a3a66.现设an(nN*)是公比为3的等比数列，且当T2，4时，ST30. (1)求数列an的通项公式；,解析答案,(2)对任意正整数k(1k100)，若T1，2，k，求证：STak1；,解析答案,(3)设CU，DU，SCSD，求证：SCSCD2SD. 证明 设AC(CD)，BD(CD)， 则AB，SCSASCD， SDSBSCD，SCSCD2SDSA2SB， SCSCD2SD等价于SA2SB. 由条件SCSD可得SASB. 若B，则S
9、B0，所以SA2SB成立，,解析答案,若B，由SASB可知A， 设A中的最大元素为I，B中的最大元素为m， 若mI1，则由(2)得SASI1amSB，矛盾 又AB，Im，Im1， SBa1a2am13323m1 即SA2SB成立综上所述，SA2SB. 故SCSCD2SD成立,返回,当堂检测,1,2,3,4,1.等比数列an中，a1a2a31，a44，则a2a4a6a2n等于( ),解析答案,1,2,3,4,a21， 又a44，,数列a2，a4，a6，a2n是首项为1， 公比为4的等比数列.,答案 B,2.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要
10、的最少天数n(nN*)等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6,解析 设每天植树棵数为an，则an是等比数列， an2n(nN*，n为天数). 由题意得222232n100， 2n150， 2n51， n6. 需要的最少天数n6.,1,2,3,4,D,解析答案,1,2,3,4,3.等比数列an的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是( ) A.28 B.48 C.36 D.52,A,解析 易知Sm4，S2mSm8， S3mS2m16， S3m121628.,解析答案,1,2,3,4,解析答案,4.已知数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，a1，a7，a4成等差数列.求证：2S3
11、，S6，S12S6成等比数列.,证明 设等比数列an的公比为q，由题意得2a7a1a4， 即2a1q6a1a1q3， 2q6q310. 令q3t，则2t2t10，,当q31时，2S36a1，S66a1，S12S66a1，,解析答案,1,2,3,4,2S3，S6，S12S6成等比数列.,解析答案,1,2,3,4,2S3，S6，S12S6成等比数列. 综上可知，2S3，S6，S12S6成等比数列.,1,2,3,4,课堂小结,等比数列中用到的数学思想 1.分类讨论的思想：(1)利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论； (2)研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a10，q1或a11或a10,0q1时为递减数列；当q0时为摆动数列；当q1时为常数列.,返回,本课结束,
