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1、2.3.2 等比数列的前n项和(一),第二章 2.3 等比数列,1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 等比数列的前n项和公式的推导,对于S641248262263,用2乘以等式的两边可得2S64248262263264,对这两个式子作怎样的运算能解出S64?,答案,比较两式易知,两式相减能消去同类项,解出S64,即S64 2641.,梳理,设等比数列an的首项是a1,公比是q,前n项和Sn可用下面的“错位相减法”求得 Sna1a1qa1q2a1qn
2、1. 则qSna1qa1q2a1qn1a1qn. 由得(1q)Sna1a1qn. 当q1时,由于a1a2an,所以Snna1.,结合通项公式可得等比数列前n项和公式:,知识点二 等比数列的前n项和公式的应用,思考,要求等比数列前8项的和:,答案,答案,梳理 一般地,使用等比数列求和公式时需注意: (1)一定不要忽略q1的情况; (2)知道首项a1、公比q和项数n,可以用 ;知道首尾两项a1,an和q,可以用 ; (3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量:a1,n,q,an,Sn,知道其中任意三个,可求其余两个,题型探究,类型一 等比数列前n项和公式的应用,命题角度1 前n项和公式的直接应
3、用 例1 根据题干中的条件,求相应的等比数列an的前n项和Sn. (1)a13,q2,n6;,解答,a13,q2,n6,,解答,求等比数列前n项和,要确定首项、公比或首项、末项、公比,应特别注意q1是否成立,反思与感悟,跟踪训练1 若等比数列an满足a2a420,a3a540,则公比q_;前n项和Sn_.,设等比数列的公比为q, a2a420,a3a540, 20q40,且a1qa1q320, 解得q2,且a12.,2n12,2,答案,解析,命题角度2 通项公式与前n项和公式的综合应用 例2 在等比数列an中,S230,S3155,求Sn.,解答,方法二 若q1,则S3S232, 而事实上,S
4、3S2316,故q1.,(1)应用等比数列的前n项和公式时,首先要对公比q1或q1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论 (2)当q1时,等比数列是常数列,所以Snna1;当q1时,等比数列 的前n项和Sn有两个公式当已知a1,q与n时,用Sn 比较方 便;当已知a1,q与an时,用Sn 比较方便,反思与感悟,跟踪训练2 在等比数列an中,a12,S36,求a3和q.,解答,由题意,得若q1,则S33a16,符合题意 此时,q1,a3a12. 若q1,则由等比数列的前n项和公式,,解得q2. 此时,a3a1q22(2)28. 综上所述,q1,a32或q2,a38.,类型二 等比数列前n项和
5、的实际应用,例3 借贷10 000元,月利率为1%,每月以复利计息,王老师从借贷后第二个月开始等额还贷,分6个月付清,试问每月应支付多少元?(1.0161.061,1.0151.051),解答,方法一 设每个月还贷a元,第1个月后欠款为a0元,以后第n个月还贷a元后,还剩下欠款an元(1n6),则a010 000,a11.01a0a, a21.01a1a1.012a0(11.01)a, a61.01a5a1.016a011.011.015a. 由题意,可知a60, 即1.016a011.011.015a0,,因为1.0161.061,,故每月应支付1 739元 方法二 一方面,借款10 000
6、元,将此借款以相同的条件存储6个月,则它的本利和为S1104(10.01)61041.016(元), 另一方面,设每个月还贷a元,分6个月还清,到贷款还清时,其本利和为S2a(10.01)5a(10.01)4a,故每月应支付1 739元,解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数,所谓复利计息,即把上期的本利和作为下一期本金,在计算时每一期本金的数额是不同的,复利的计算公式为SP(1r)n,其中P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本利和,反思与感悟,跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气
7、球上升的高度能超过125 m吗?,解答,用an表示热气球在第n分钟上升的高度, 由题意,得an1 an, 因此数列an是首项a125,公比q 的等比数列 热气球在前n分钟内上升的总高度为,故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.,当堂训练,1.等比数列1,x,x2,x3,的前n项和Sn等于,答案,解析,1,2,3,4,2.设等比数列an的公比q2,前n项和为Sn,则 等于,1,2,3,4,答案,解析,方法一 由等比数列的定义, S4a1a2a3a4 a2a2qa2q2,,1,2,3,4,1,2,3,3.等比数列an的各项都是正数,若a181,a516,则它的前5项的和是 A.179 B.2
8、11 C.243 D.275,4,答案,解析,去年产值为a,今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a. 1.1a1.12a1.13a1.14a1.15a11a(1.151).,1,2,3,4,4.某厂去年产值为a,计划在5年内每年比上一年产值增长10%,从今年起5年内,该厂的总产值为_.,11a(1.151),答案,解析,规律与方法,1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共涉及五个量:a1,an,n,q,Sn,其中首项a1和公比q为基本量,且“知三求二”. 2.前n项和公式的应用中,注意前n项和公式要分类讨论,即当q1和q1时是不同的公式形式,不可忽略q1的情况. 3.一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列且公比为q,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减的方法求和.,本课结束,