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1、第二章,平面解析几何初步,学习目标 1.通过数轴上两点的距离公式的探索,掌握平面直角坐标系中两点的距离公式和中点公式. 2.通过对两点的距离公式的推导过程的探索,体会算法. 3.进一步体会“坐标法”的基本思想,逐步学会用“坐标法”解决有关问题.,2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 1.在直角坐标系中,A(1,0),B(3,0)两点的距离为 ；C(0,1), D(0,3)两点的距离为 . 2.在直角三角形ABC中,B90,AB3,BC4,则AC .,2,4,5,预习导引 1.两点间
2、距离公式 两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式表示为d(A,B) _； 当AB垂直于y轴时,d(A,B) ； 当AB垂直于x轴时,d(A,B) ； 当B为原点时,d(A,B)_.,|x2x1|,|y2y1|,2.坐标法 (1)定义：在解决一些平面上的几何问题时,经常在平面上建立坐标系,以坐标系为桥梁,将几何问题转化为代数问题,通过代数运算研究几何图形的性质,这种方法称为坐标法.注意在 建立坐标系时,可以建立直线坐标系、直角坐标系等.,(2)坐标法解决问题的基本步骤如下： 第一步,根据题中条件,建立恰当的坐标系,用坐标表示有关的量；第二步,进行有关代数运算；第三步,把代数结果翻译成
3、几何关系. 3.中点坐标公式 已知A(x1,y1),B(x2,y2),设点M(x,y)是线段AB的中点,则中点坐标 公式为 .,_,要点一 两点的距离公式的应用 例1 已知ABC三个顶点的坐标分别为A(a,0),B(a,0), C(0, a). 求证：ABC是等边三角形.,故ABC是等边三角形.,规律方法 1.判断多边形的形状或判断点之间的关系时,若已知点的坐标,一般转化为两点的距离求解. 2.根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等,在进行判断时,一定要得出最终结果,比如一个三角形是等腰直角三角形,若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的.,
4、跟踪演练1 本例若改为：已知A(1,1),B(3,5),C(5,3),试判断ABC的形状.,所以|AB|AC|BC|,且显然三边长不满足勾股定理, 所以ABC为等腰三角形,要点二 中点公式的应用 例2 已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2), B(5,7),对角线交点为E(3,4),求另外两顶点C、D的坐标. 解 设C点坐标为(x1,y1),设D点坐标为(x2,y2),故C点坐标为(10,6),D点坐标为(11,1).,规律方法 1.本题是用平行四边形对角线互相平分这一性质,依据中点公式列方程组求点的坐标. 2.中点公式常用于求与线段中点,三角形的中线,平行四边形的对角线等有关
5、的问题,解题时一般先根据几何概念,提炼出点之间的“中点关系”,然后用中点公式列方程或方程组求解.,跟踪演练2 已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(0,0),B(2,0),D(1,3),求顶点C的坐标.,解 平行四边形的对角线互相平分,平行四边形对角线的中点坐标相同.,即C(3,3).,要点三 坐标法的应用 例3 已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|2|PB|2|PC|2最小,并求此最小值. 解 以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系如图.,规律方法 (1)也可以B为原点,BC所在直线为x轴建立直角坐标系,计算也不复杂. (2)配方法求最值是
6、重要方法,应掌握好. (3)选择恰当坐标系的原则是“避繁就简”.,证明 如图所示,以RtABC的直角边AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立直角坐标系,设B、C两点的坐标分别为(b,0)、(0,c),1.已知A(8,3),B(5,3),则线段AB的中点坐标为( ),1,2,3,4,5,解析 由中点坐标公式可以求得.,B,2.已知A(1,2),B(a,6),且|AB|5,则a的值为( ) A.4 B.4或2 C.2 D.2或4,1,2,3,4,5,解得a2或4.,D,3.已知线段AB的中点在坐标原点,且A(x,2),B(3,y),则xy等于( ) A.5 B.1 C.1 D.5 解析 易知
7、x3,y2, xy5.,1,2,3,4,5,D,4.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形,1,2,3,4,5,B,5.点A(2,3),B(5,4)之间的距离为_.,1,2,3,4,5,课堂小结,1.A,B两点的距离与A,B两点的顺序无关,即d(A,B)d(B,A).公式中坐标的顺序也可以同时调换,即d(A,B),3.坐标法应用的注意点： 一些平面几何问题用坐标法解决更简单,但要把坐标系建立在适当的位置上,注意利用图形的几何性质. (1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上； (2)如果图形中有互相垂直的两条直线,则考虑其作为坐标轴；,(3)考虑图形的对称性,可将图形的对称中心作为原点,将图形的对称轴作为坐标轴. 事实上,建立不同的直角坐标系,相关点的坐标不同,但不影响最后的结果.,
