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1、章末复习课,第3章 指数函数、对数函数和幂函数,学习目标 1.掌握基本初等函数的图象和性质. 2.会借助基本初等函数的图象性质研究函数与方程问题. 3.能建立函数模型解决简单的实际问题,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点一 指数函数与对数函数的性质,知识点二 幂函数yx的性质,(1)所有的幂函数在(0，)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果0，则幂函数的图象过原点，并且在区间0，)上为单调增函数； (3)如果0，则幂函数的图象在区间(0，)上是单调减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x从原点趋向于时，图象在x轴上方无
2、限地逼近x轴； (4)当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数,知识点三 函数的零点与方程的根,函数的零点与方程的根之间存在着紧密的关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根,知识点四 函数模型及其应用,解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面求解函数
3、应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为,题型探究,命题角度1 函数性质及应用 例1 已知函数f(x)a2xb3x，其中常数a，b满足ab0. (1)若ab0，判断函数f(x)的单调性；,类型一 指数函数、对数函数、幂函数的综合应用,解答,解 当a0，b0时，因为a2x，b3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增； 当a0，b0时，因为a2x，b3x都单调递减， 所以函数f(x)单调递减,(2)若abf(x)时的x的取值范围,解 f(x1)f(x)a2x2b3x0.,解答,指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，
4、使用时则通过换元、图象变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究,反思与感悟,跟踪训练1 已知函数f(x)loga(1x)loga(x3)(0a1) (1)求函数f(x)的定义域；,解答,解得3x1，定义域为(3,1),(2)若函数f(x)的最小值为2，求a的值,解答,解 函数可化为f(x)loga(1x)(x3)loga(x22x3) loga(x1)24 3x1，0(x1)244. 0a1，loga(x1)24loga4.,命题角度2 函数图象及应用 例2 如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集是_,(1,1,答案,解析,解析 借助函数的图
5、象求解该不等式 令g(x)ylog2(x1)，作出函数g(x)的图象如图.,结合图象知不等式f(x)log2(x1)的解集为x|1x1,指数函数、对数函数、幂函数的图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图象，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换,反思与感悟,跟踪训练2 若函数ylogax(a0，且a1)的图象如图所示，则下列函数图象中正确的是_(填序号),答案,解析,解析 由题意得ylogax(a0，且a1)的图象过(3,1)点，可解得a3. 中，y3x( )x，显然图象错误； 中，yx3，由幂函数图象可知正确； 中，y(x)3x3，显然与
6、所画图象不符； 中，ylog3(x)的图象与ylog3x的图象关于y轴对称显然不符故填.,例3 已知函数f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x 1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是_,类型二 函数的零点与方程的根的关系及应用,x1x2x3,答案,解析,解析 令x2x0，得2xx； 令xln x0，得ln xx； 在同一坐标系内画出y2x，yln x，yx的图象，如图可知x10x21.,(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点 (2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数
7、或转化成两个函数图象的交点个数进行判断,反思与感悟,跟踪训练3 若函数f(x)2x a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是_,解析 显然f(x)在(0，)上是单调增函数，由条件可知f(1)f(2)0，即(22a)(41a)0， 即a(a3)0，解得0a3.,答案,解析,(0,3),例4 已知函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为(0,1)，进行两次二分后，零点所在区间为_,类型三 用二分法求函数的零点或方程的近似解,解析 f(x)是R上的单调增函数且图象是连续的，且f(0)e04030， f(1)e430， f(x)在(0,1)内有唯一零点,答案,解析,(1)根据f(a0)f(
8、b0)0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初始区间 (2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间对应的结果是相同的，但二分的次数相差较大 (3)取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(an，bn)中，an，bn与精确度要求的近似值相等,反思与感悟,跟踪训练4 已知函数f(x)logaxxb(a0，且a1)，当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.,答案,解析,2,解析 a2， f(x)logaxxb在(0，)上为单调增函数，且f(2)loga22b，f(3)loga33b. 2a3b4，0loga21，22b1， 2l
9、oga22b0. 又1loga32，13b0， 0loga33b2，即f(2)0，f(3)0. 又f(x)在(0，)上是单调函数， f(x)在(2,3)内必存在唯一零点,解答,类型四 函数模型及应用,例5 如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx (1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标,(1)求炮的最大射程；,由实际意义和题设条件知x0，k0，,所以炮的最大射程为10千米,(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐
10、标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由,解答,解 因为a0，所以炮弹可击中目标,关于k的方程a2k220aka2640有正根 判别式(20a)24a2(a264)00a6. 所以当它的横坐标a不超过6时，可击中目标,在建立和应用函数模型时，准确地把题目要求翻译成数学问题(如最大射程翻译成y0时求x的最大值)非常重要另外实际问题要注意实际意义对定义域、取值范围的影响,反思与感悟,跟踪训练5 某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的
11、保鲜时间是_小时,答案,解析,24,即该食品在33的保鲜时间是24小时,当堂训练,2,3,4,5,1,3,答案,解析,2如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图象若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是_,2,3,4,5,1,答案,解析,解析 由晨练的图象可知，总共分为三部分，前一段随着时间的增加，离家的距离增大，接着一段时间是保持离家距离不变，根据所给路线可知只有符合，同时，最后一段是随着时间的增加，离家的距离越来越小，也符合故填.,2,3,4,5,1,3函数f(x)2x|log0.5x|1与x轴交点的个数为_,2,3,4,5,1,解析 函数f(x)
12、2x|log0.5x|1与x轴交点的个数即为函数y|log0.5x|与y图象的交点个数,答案,解析,2,在同一直角坐标系中作出函数y|log0.5x|，y 的图象(图略)，易知有2个交点,4设函数f(x)log3 a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是_,答案,2,3,4,5,1,(log32,1),5已知方程2x10x的根x(k，k1)，kZ，则k_.,答案,2,3,4,5,1,2,规律与方法,1.对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围 2.函数模型的应用实例的基本题型 (1)给定函数模型解决实际问题； (2)建立确定的函数模型解决问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题,3.函数建模的基本过程如图：,本课结束,
