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1、3.2 基本不等式与最大(小)值,第三章 不等式,1.熟练掌握基本不等式及变形的应用. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 基本不等式及变形,使用基本不等式证明： (a0，b0)，并说明什么时候等号成立.,答案,梳理,以下是基本不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件.,当a0，b0时，有 ； 当且仅当 时，以上三个等号同时成立.,ab,知识点二 用基本不等式求最值,思考,错.显然(x21)min1. x212x，当且仅当x1时取等号.仅说明抛物线
2、yx21恒在直线y2x上方，仅在x1时有公共点.,因为x212x，当且仅当x1时取等号.所以当x1时，(x21)min2. 以上说法对吗？为什么？,答案,梳理,基本不等式求最值的注意事项 (1)x，y必须是 ； (2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为 ；求和xy的最小值时，应看积xy是否为 ； (3)等号成立的条件是否满足. 使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值.如果都不是定值，可能出错.,正数,定值,定值,题型探究,类型一 基本不等式与最值,例1 若x0，求函数yx 的最小值，并求此时x的值；,解答,(2)设0x ，求函数y4x(32x)的最大值；,解答,y4x(32x)22
3、x(32x),(3)已知x2，求x 的最小值；,解答,x2，x20，,(4)已知x0，y0，且 1，求xy的最小值.,解答,即x4，y12时，上式取等号. 故当x4，y12时，(xy)min16.,xy(x1)(y9)10,当且仅当x1y93，即x4，y12时上式取等号， 故当x4，y12时，(xy)min16.,反思与感悟,在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧；三是考虑等号成立的条件是否具备.,跟踪训练1 (1)已知x0，求f(x) 3x的最小值；,解答,f(x)的最小值为12.,x3，x30，,(2)已知x3，求f
4、(x) x的最大值；,解答,f(x)的最大值为1.,(3)设x0，y0，且2x8yxy，求xy的最小值.,解答,方法一 由2x8yxy0，得y(x8)2x.,xy的最小值是18.,等号成立.,xy的最小值是18.,类型二 基本不等式在实际问题中的应用,命题角度1 几何问题的最值 例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？,解答,设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy100，篱笆的长为2(xy) m.,当且仅当xy10时等号成立. 所以这个矩形的长，宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.,设矩形菜园的长
5、为x m，宽为y m，则2(xy)36，xy18，矩形菜园的面积为xy m2.,(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,解答,当且仅当xy9时，等号成立. 所以这个矩形的长，宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2.,反思与感悟,利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.,跟踪训练2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎
6、样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？,解答,又设水池总造价为y元，根据题意，得,当且仅当x ，即x40时，y取得最小值297 600. 所以水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价为 297 600元.,命题角度2 生活中的最优化问题 例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？,解答,设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨. 由题意可知，面粉的保管及其他费用为 36x6(x1)6(x2)6
7、19x(x1). 设平均每天所支付的总费用为y元，,所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.,引申探究 若受车辆限制，该厂最少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？,解答,设x1，x215，)，且x1x2.,15x1x2， x1x20，x1x2225，,当x15，即15天购买一次面粉，每天支付的平均费用最少.,反思与感悟,应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答).使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解.
8、,跟踪训练3 一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于 千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要_小时.,答案,解析,8,设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则,所以这批货物全部运到B市，最快需要8小时.,当堂训练,答案,解析,1,2,3,4,2.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是 A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m,1,2,3,4,答案,解析,A.0 B.4 C.4 D.2,1,2,3,4,答案,解析,1
9、,2,3,4,即实数k的最小值为4.故选C.,1,2,3,4,4.已知0x1，则f(x)2log2x 的最大值是_.,答案,解析,当0x1时，log2x0，,即(log2x)25， 即x 时，等号成立.,规律与方法,1.用基本不等式求最值 (1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值.这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：“一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等号一定能取到.这三个条件缺一不可.,(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件. (3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数yx (p0)的单调性求得函数的最值. 2.求解应用题的方法与步骤 (1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.,本课结束,
