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1、 1 第第 VI 章章 克罗内克（克罗内克（Kronecker）积及其应用）积及其应用 61 Kronecker 积积 611 Kronecker 积的概念积的概念 定义定义 11 设 A=,)(,)( qp ij nm ij cbBca =则称如下的分块矩阵 nqmp mnmm n n C BaBaBa BaBaBa BaBaBa BA = L LLLL L L 21 22221 11211 为 A 的克罗内克 （克罗内克 （Kronecker） 积，） 积， 或称 A 与 B 的直积直积， 或张量积张量积， 简记为,)( nmijB aBA = = 即BA 是一个nm块的分块矩阵，最后是一
2、个nqmp阶的矩阵。 例例 11 设, = = y x B dc ba A 那么 24 = = dycy dxcx byay bxax dBcB bBaB BA 24 = = = dycy byay dxcx bxac ydyc ybya xdxc xbxa yA xA AB 由这个例子可以看出，BA与AB 一般不是同一矩阵，即 Kronecker 积不满足交换律，但它们的阶 数是相同的。 对单位矩阵，有 mnnmmn IIIII= 61 2 Kronecker 积的性质积的性质 不难验证，矩阵的 Kronecker 积满足下列运算律： 2 1,)(kBABkABAk= ck ； 2分配律 C
3、BCACBA+=+)(; 3结合律).()(CBACBA= 下面我们来研究Kronecker积的另一个重要性质， 这条性质对进一步研究Kronecker积有着重要的作用。 定理定理 11 设,)(,)(,)(,)( trijpnijrsijnmij dDcCbBaA =则 BDACDCBA=)( （11） 证证 因为 BDAC BDACBDca DcBaDCBA ij n k kjik ijij = = = = )()( )()( 1 式中（AC）ij 是矩阵 AC 中第 i 行第 j 列的元素。 证毕 推论推论 若,)(,)( nnijmmij bBaA =则 )()( nmmn IABIB
4、IIABA= 定理定理 12 设,)(,)( qpijnmij bBaA =则 TTT BABA=)( （1 2） HHH BABA=)( （1 3） 证证 因为 T mnm nB T ij T Baa aBa BaBA = L MM L 1 111 )()( TT T mn T n T m T BA BaBa BaBa = = L MM L 1 111 同理可证 HHH BABA=)(。 证毕 3 定理定理 13 设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则BA也为可逆矩阵，且 111 )( =BABA （1 4） 证证 由式（11）有 mnnm III BBAABABA = = )()
5、( 1111 即 111 )( =BABA 证毕 由式（12） 、 （14）可见，对于 Kronecker 积，转置和求逆的反序法则不再成立，这也是与通常的 矩阵乘法的主要区别之一。 定理定理 14 设,)(,)( qpijnmij bBaA = 则 )()()(BrankArankBArank= （1 5） 证证 设 A 与 B 的标准形为 A1与 B1 ，即 ， （ 6） 其中、分别为阶、阶、阶和阶非奇异矩阵，且 = 0 0 1 1 1 O O A ， = 0 0 1 1 1 O O B 1 A中数 1 的个数为 rank（A） ， 1 B中数 1 的个数为 rank（B） 。 由式（16
6、）有 1 1 1 =NAMA ， 1 1 1 =QBPB 于是，由式（11）有 )()( )()( 11 11 11 1 1 11 1 1 = = QNBAPM QBPNAMBA 由定理 13 知， 1111 , QNPM均为非奇异矩阵，故 4 )()( 11 BArankBArank= 而 11 BA的秩为)()(BrankArank，于是 )()()(BrankArankBArank= 证毕 定理定理 15 设 m L 21, 是 nm A 的 m 个特征值， p L, 21 是 pp B 的p个特征值，那 么BA的mp个特征值为).,. 2 , 1;,2 , 1(pjmi ji LL=
7、证证 由第三章2 知，A 与 B 一定与 Jordan 标准形相似，即存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 = = pm JBQQJAPP 0 , 0 1 2 1 1 1 OO 即有 1 1 1 0 , 0 . = =QQBPPA pm OO 从而由式（11）有 1 1 1 1 11 11 )( 0 0 0 )( )( 00 )( = = QPQP QPQPBA p m p pm O O O OO 即有 5 pm m p BA O O O 1 1 11 * 从而BA的 mp 个特征值为), 1;, 1(pjmi ji LL=， 证毕 定理定理 16 设 A 为 m 阶矩阵，B 为 p 阶矩阵，则 (
8、) () mp BABA)det()det()det(= （1 7） 证证 设 A 与 B 的 Jordan 标准形分别为 1 J和 2 J，于是存在非奇异矩阵 P 与 Q，有 2 1 1 1 ,JBQQJAPP= 由式（11） ，有 = BA()() 1 2 1 1 QQJOPPJ ()()() 1 21 =QPJJQP 于是 () 21 det)det(JJBA= 显然，当 21,J J均为下（上）三角矩阵时，() 21 JJ 也为下（上）三角矩阵，故有 () 21 det)det(JJBA=()()() = p j jm p j j p j j 11 2 1 1 L ( )() = =
9、p j j m j j 11 () ()m p BA)det()det(= 其中 m , 21 L为 A 的特征值， p L, 21 是 B 的特征值， 证毕 定理定理 17 （1）若 A，B 均为对角矩阵时，则BA也是对角矩阵； 6 （2）若 A，B 均为对称矩阵时，则BA也是对称矩阵； （3）若 A，B 均为 Hermite 矩阵时，则BA也是 Hermite 矩阵； （4）若 A，B 均为正交（酉）矩阵时，则BA也是正交（酉）矩阵。 定理的证明作为练习。 由例 11 我们已看到，Kronecker 积的交换律不成立，即BA一般不等于AB ，但是，我们 仍有下面的性质。 定理定理 18 设
10、 A 为 m 阶矩阵，B 为 n 阶矩阵，则有BA相似于AB 。 证证 容易验证，对矩阵 n IA进行一系列“相合”变换（对矩阵的行和相应的列进行相同的初等 变换，这里是指对调矩阵的第 I 行与第 J 行，然后再对调第 I 列与第 J 列。 ） ，可以变成AIn，即存在一 个 mn 阶置换矩阵（有限个初等矩阵的乘积）P，使 ()=PIAP n T AIn 同理，对矩阵BIm也有 ()=PBIP m T m IB 再由此种初等矩阵的性质知IPPT=，有 ()=PBAPT() n T IAP()PBIm =() n T IAP T PP()PBIm =（AIn） （ m IB） =AB 证毕 矩阵
11、在 Kronecker 积的意义下也有幂的概念。 定义定义 12 设有矩阵, nm CA 记 )(k k AAAA= 44 344 21 L 个 它是一个 kk nm阶矩阵。 7 定理定理 19 设 pnnm CBCA ,，则 )()()( )( kkk BAAB= （1 8） 证证 用归纳法，当1=k时，显然成立，设1k时定理成立，则 )1()( )()()( = kk ABABAB )()( )1()1( )1()1( )( )( kk kk kk BA BBAA BAAB = = = 证毕 关于 Kronecker 积的多项式的特征值问题，我们有下面的结论。 定理定理 110 设 ji
12、p ji ij yxayxf = = 0, ),( 是变量yx,的复系数多项式，对于 pnnm CBCA ,定义nm阶矩阵： ji p ji ij BAaBAf= =0, );( （1 9） 如果 A 和 B 的特征值分别是 m , 21 L和 n L, 21 ，它们对应的特征向量分别是 m xxxL, 21 和 n yyyL, 21 ，则矩阵);(BAf的特征值是);( sr f，而对应);( sr f的特 征向量为 sr yx ), 1;, 1(nsmrLL=。 证证 由 rrr xAx= ， sss yBy= 有 r r i r i xxA= ， s j ss j yyB= 于是 )();( 0, sr ji p ji ijsr yxBAayxBAf= = )( 0, sr ji p ji ij yxBAa= = )( 0, s j r i p ji ij yBxAa= = 8 sr j s i r p ji ij yxa= = 0, srsr yxf=),( 证毕 特别地，若取xyyxf=),(，则有 BABAf=);( 应用本定理，便有定理 15 的结论，即 推论推论 1 BA的特征值为nm个数 sr ), 1;, 1(nsmrLL=，且对应
