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1、第二章 方程(组)与不等式(组) 第8讲 一元二次方程,考点梳理过关,考点1一元二次方程的有关概念 6年1考,考点2 一元二次方程的解法,考点3一元二次方程根的判别式 6年5考,一元二次方程ax2bxc0(a0)中，_b24ac_叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式，通常用“”来表示，即b24ac.当_0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当_0时，方程无实数根，反之亦成立,考点4一元二次方程根与系数的关系 6年3考,如果一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1，x2，那么x1x2 ，x1x2 .,拓展利用根与系数的关系求某些代数式的值时，先
2、把代数式变形成两根的和与积的形式，常见的变形有：,考点5一元二次方程的应用 6年2考 列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)审：读懂题目，弄清题意，明确已知量和未知量以及它们之间的等量关系；(2)设：设元，也就是设未知数；(3)找：找出等量关系式；(4)列：列方程；(5)解：解方程；(6)验：检验未知数的值的准确性及合理性；(7)答：写出答案,总结(1)一元二次方程的应用中，平均增长率问题中的数量关系：若增长的基数为a，每次增长的平均增长率为x，则第一次增长后的数量为a(1x)，第二次增长是以a(1x)为基数的，两次增长后的数量为a(1x)2；若降低的基数是a，每次平均降低率为x，则第一次降
3、低后的数量为a(1x)，第二次降低后的数量为a(1x)2.(2)利润问题中三个常用的等量关系：单件利润单件售价单件成本；总利润(单件售价单件成本)数量总售价总成本；利润率,典型例题运用,类型1一元二次方程的解法,【例1】 2017德州中考方程3x(x1)2(x1)的根 是 .,技法点拨一元二次方程的解法的选用：(1)直接开平方法：当方程缺少一次项时，即方程ax2c0(a0)；形如(xm)2n(n0)的方程(2)因式分解法：缺少常数项，即方程ax2bx0(a0)；一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积(3)配方法：二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程；各项的系
4、数比较小且方便配方的情况(4)公式法：一元二次方程的所有情况,变式运用1. 2017冠县一模现定义运算“”，对于任意实数a，b，都有aba23ab，如：3532335，若x26，则实数x的值是 .,1或4,1或4 根据题中的新定义将x26变形，得x23x26，即x23x40.因式分解，得(x4)(x1)0.解得x14，x21.则实数x的值是1或4.,类型2 一元二次方程根的判别式,【例2】 2017淄博中考若关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( ) Ak1 Bk1且k0 Ck1 Dk1或k0,技法点拨判断一元二次方程根的情况，主要看b24ac与0的关系
5、含有字母系数的一元二次方程有两个实数根时，二次项系数不等于0，且根的判别式b24ac0，二者缺一不可,B,变式运用2.关于x的一元二次方程x2(m2)xm10有两个相等的实数根，则m的值是( ) A0 B8 C4 D.0或8,D,类型3 一元二次方程根与系数的关系,【例3】 2017成都中考已知x1，x2是关于x的一元二次方程x25xa0的两个实数根，且 ，则a .,技法点拨解题的关键是把给定的代数式经过恒等变形化为含x1x2，x1x2的形式，然后把x1x2，x1x2的值整体代入研究一元二次方程根与系数的关系的前提为a0，b24ac0.因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的
6、值或范围时，必须要考虑这一前提条件,变式运用3.2017盐城中考若方程x24x10的两根是x1，x2，则x1(1x2)x2的值为 .,5,5 根据题意，得x1x24，x1x21，所以x1(1x2)x2x1x1x2x2x1x2x1x2415.,变式运用4.2017烟台中考若x1，x2是方程x22mxm2m10的两个根，且x1x21x1x2，则m的值为( ) A1或2 B1或2 C2 D1,D,D x1，x2是方程x22mxm2m10的两个根，x1x22m，x1x2m2m1.x1x21x1x2，2m1(m2m1)，即m2m2(m2)(m1)0.解得m12，m21.方程x22mxm2m10有实数根，
7、(2m)24(m2m1)4m40，解得m1，m1.,类型4 一元二次方程的应用,【例4】 2017盐城中考某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒.2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒 (1)2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？ (2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？,【思路分析】(1)设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为(x11)元/盒，根据2014年花350
8、0元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出答案；(2)设年增长率为m，根据数量总价单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润(1增长率)22016年的销售利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出答案,(1)设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为(x11)元/盒 根据题意，得 解得x35. 经检验，x35是原方程的解，且符合题意 答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒 (2)设年增长率为m. 2014年的销售数量为350035100(盒) 根据题意，得(6035)100(1a)2(603511
9、)100. 解得a0.220%或a2.2(不合题意，舍去) 答：年增长率为20%.,变式运用5.2017南宁中考为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位：本)该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本 (1)求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率； (2)已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a
10、的值至少是多少？,解：(1)设从2014年至2016年的平均增长率为x. 由题意，得7500(1x)210800. 解得x0.220%，或x2.2(舍去) 答：从2014年至2016年的平均增长率为20%. (2)1080013508(本) 设从2016年到2017年的增长率为y. 根据题意，得8(1a%)144010800(1y) 化简，得a93.75y6.25. 依题意，得y0.2. k93.750，a随y的增大而增大， 当y0.2时，a取得最小值 此时，a93.750.26.2512.5. 答：a的值至少是12.5.,六年真题全练,命题点1 一元二次方程的解法,一元二次方程的解法是潍坊市
11、中考命题的必考点，一般情况下不单独命题，在做题的过程中需要解一元二次方程，则需灵活选择解一元二次方程的方法，试题难度一般较大 12017潍坊，18,3分链接第19讲六年真题全练第1题 22017潍坊，25(3)，4分链接第12讲六年真题全练第3题 32015潍坊，21(2)，1分链接第22讲六年真题全练第4题 42015潍坊，24(3)，3分链接专题4二次函数与几何图形的综合例1. 52014潍坊，24(3)，3分链接专题4二次函数与几何图形的综合例2. 62013潍坊，23(3)，2分链接第23讲六年真题全练第5题,72012潍坊，7,3分已知两圆半径r1，r2分别是方程x27x100的两根
12、，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是( ) A相交 B内切 C外切 D外离,C,C 解一元二次方程，得r12，r25，r1r2257，两圆外切,82012潍坊，24(3)，4分链接第22讲六年真题全练第7题,92016潍坊，6,3分关于x的一元二次方程x2 sin0有两个相等的实数根，则锐角等于( ) A15 B30 C45 D60,命题点2一元二次方程根的判别式,B,B,102014潍坊，9,3分等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x212xk0的两个根，则k的值是( ) A27 B36 C27或36 D18,B 分两种情况：(1)当其他两条边中有一个为3时
13、，将x3代入原方程，得32123k0，解得k27.将k27代入原方程，得x212x270.解得x3或9.3,3,9不能够组成三角形；当3为底时，则其他两条边相等，即0.此时1444k0，k36.将k36代入原方程，得x212x360.解得x6.3,6,6能够组成三角形,C,112013潍坊，10,3分已知关于x的方程kx2(1k)x10，下列说法正确的是( ) A当k0时，方程无解 B当k1时，方程有一个实数解 C当k1时，方程有两个相等的实数解 D当k0时，方程总有两个不相等的实数解,C 当k0时，方程为一元一次方程x10有唯一解当k0时，方程为一元二次方程，其根的情况由根的判别式确定(1k
14、)24k(1)(k1)2，当k1时，方程有两个相等的实数解；当k0且k1时，方程有两个不相等的实数解综上所述，C说法正确,122017潍坊，16,3分已知关于x的一元二次方程kx22x10有实数根，则k的取值范围是 .,k1且k0 根据根的判别式，得44k0；根据一元二次方程的定义，得k0.解得k1且k0.,k1且k0,猜押预测1.方程(k1)x2 有两个实数根，则k的取值范围是( ) Ak1 Bk1 Ck1 Dk1,D,得分要领(1)再次强调：根的判别式是指b24ac；(2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a，b，c的值；(3)如果说方程有实数根，即包括有两个不等实根或有两个相等实根两种情况，此时b24ac0切勿丢掉等号；(4)根的判别式b24ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a0.,132016潍坊，19,6分关于x的方程3x2mx80有一个根是 ，求另一个根及m的值,命题点3 一元二次方程根与系数的关系,猜押预测2.2017淄博中考已知，是方程x23x40的两个实数根，则23的值为 .,0,0 根据题意，得3，4，原式()333
