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1、第4章：一些重要的概率分布 (由4.1.5中心极限定理开始,第4章：一些重要的概率分布,总结,F 分布,4.5,t 分布,4.4,分布,4.3,4.2,正态分布,4.1,4.1LY 标准正态分布,密度函数 正态变量的概率密度：,最重要的一种概率分布。连续型分布。,4.1 正态分布（normal distribution）,密度函数,最最最重要的一种概率分布。连续型分布。,正态分布的图形,4.1.1 正态分布的性质,2. 分布曲线下的面积 约有68%位于 之间； 约95%位于 之间。 3. 正态分布的偏度S=0 ，峰度K=3,1. 钟型。,例4.1：X：非商业区每日出售的玫瑰花数量， Y：商业区
2、每日出售的玫瑰花的数量， 假定X和Y相互独立，XN(100,64)，YN(150,81) 求两天内两花商出售玫瑰花数量的和的期望和方差？,解：设随机变量W表示两天内两花商出售玫瑰花数量的和，则有： W=2X+2Y LY: W=(x1+x2)+(y1+y2) E(W) = E(2X+2Y) = 2E(X) + 2E(Y) = = 500 Var(W)=Var(2X+2Y)= 4Var (X)+4Var (Y)= 580 所以：WN(500,580),4.1.2 标准正态分布 标准正态分布：均值为0，方差为1时的正态分布。 当,同方差，不同均值,不同方差，同均值,不同方差，不同均值,例4.2（标准
3、正态分布表的使用方法） X:面包房每日出售的面包量，假定其服从XN(70,9)，任给一天，求 （1）出售面包数量大于75的概率。 （2）出售面包数量小于等于75的概率。 （3）出售面包数量在65与75之间的概率。 （4）出售面包数量在大于75或小于65的概率。,例3.10,解：,（1）,（2）,（3）,（4）,4.1.3 从正态总体中随机抽样 可从一给定均值和方差的正态总体中生成一随机样本。也可以利用标准正态分布的随机样本，将它转化为不同均值和方差的正态分布。 许多统计软件包都有从常用的概率分布获得随机样本的程序，称为随机数字生成器（random number generators）。 见Ex
4、cel文件。,4.1.4 样本均值 的抽样分布或概率分布,随机抽样与简单随机样本,随机抽样(random sampling)： 最常用的抽取样本的方法，它要求抽取的样本满足等可能性和独立性. iid:Independent and identical distribution,例：X1，X2，Xn是从一个正态总体N(u,2)中抽取的一个简单随机样本，则X1，X2，Xn是独立同分布的随机变量，同服从N(u,2)。,统计量：不含未知参数的样本的函数。 例如样本均值和样本方差。 抽样分布：样本统计量的分布被称为抽样分布。,例4.6：某总体服从正态分布，正态分布的均值为10，方差为4，即N(10,4)
5、。 从这个正态总体中抽取20个随机样本，每个样本包括20个观察值。对抽取的每个样本，计算得到其样本均值，因而可得到20个样本均值，见Excel文件。,正态分布的样本均值的抽样分布也是正态分布。 且有,很容易利用标准正态分布表中计算某一给定样本均值大于或小于某一给定的总体均值的概率。利用变换公式：,例4.7：X:汽车每消耗一加仑汽油所行驶的距离（英里）。已知XN(20,4)，则对一个有25辆汽车组成的随机样本，求：每消耗一加仑汽油所行驶的平均距离 （a）大于21英里的概率； （b）小于18英里的概率； （c）介于19和21英里之间的概率。,所以,（a）,（b）,（c）,解：,则样本均值也服从 正
6、态分布， 且其均值为u，方差为 。,若,来自于,的正态总体的随机样本。,即有：,4.1.5 中心极限定理,如果样本不是来自于正态总体呢？,如果样本（ ）是来自于任一总体（均值为u，方差为 ）的随机样本，当样本容量n无限增大时，其样本均值将趋于正态分布，且其均值仍为u，方差为 。,即：,简言之，若样本容量足够大，则来自于任意分布总体的随机样本，其样本均值近似服从正态分布。 这就是中心极限定理。,(a)来自正态总体的样本,(b)来自非正态总体的样本,正态总体,样本均值的抽样分布,非正态总体,样本均值的抽样分布,如果总体均值已知，但总体方差未知，我们用样本方差代替总体方差，得到一个新的统计量，它将服
7、从自由度为n-1的t分布。,我们已知,4.2 t分布(LY mention Kai-squared first),k=120（正态）,k=5,k=10,图3-9 不同自由度下的 t 分布,t 分布的性质 1.与标准正态分布相似，具有对称性。即偏度为零。 2.均值为零，方差为 3.t分布比标准正态分布峰低、两侧尾部厚一些。 4.随着k的增大， t分布将越来越接近于标准正态分布。,若 iid N(0,1)， 则其平方和服从自由度为k的 分布，即有： 服从自由度为k的 分布。,x,概率密度,k=2,k=5,k=10,1.取值范围从0到无限大。 2.自由度越大，偏度越小。 3.期望为K，方差为2K。 4.若两分布E1，E2相互独立，则（E1+E2）,命题： 若随机样本来自于方差为2的正态总体，其样本容量为n，样本方差为S2。可以证明：,4.4 F分布,定义：若 ，且X和Y相互独立，则有：,F分布的性质 1.F分布是右偏分布，取值为0到无限大。 2.当自由度k1,k2逐渐增大时 ，偏度越小。,3. t分布变量的平方服从分子自由度为1,分母自由度为k的F分布,4.,例如：,4.5 总结,1. 正态分布 2. t分布 3. 分布 4. F分布,要求掌握这四种分布的图形特点、性质及适用条件，会通过查表得到相应的值。,作业：第4章习题4.5、4.7、4.13、4.16、4.20,
