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1、1 常州大学怀德学院大学数学常州大学怀德学院大学数学 A A（中）试题库（中）试题库 （一）定积分应用（一）定积分应用 一、选择题 1图中阴影部分的面积的总和可表示为 () （A）( ) b a f x dx （B）|( )| b a f x dx （C） 12 12 ( )( )( ) ccb acc f x dxf x dxf x dx （D） 12 12 ( )( )( ) ccb acc f x dxf x dxf x dx 2曲线(1)(2)yx xx与x轴所围成的图形面积为（ ） （A） 2 0 (1)(2)x xxdx ;（B） 12 01 (1)(2)(1)(2)x xxdxx
2、 xxdx ; （C） 2 0 |(1)(2)|x xxdx ;（D） 12 01 (1)(2)(1)(2)x xxdxx xxdx . 3由曲线xycos和直线0x，x，0y所围成的图形面积为（ ） （A） 0 cos xdx ;（B） 0 |cos|xdx ; （C） 0 cos x dx ;（D） 2 0 cosxdx + 2 cos xdx . 4曲线lnyx与直线ln ,ln ,0ya ybab及y轴所围成的面积值为（ ） （A） ln ln b y a e dy ;（B） b y a e dy ; （C） ln ln ln b a xdx ;（D）ln b a xdx . 5曲线
3、x ey 与该曲线过原点的切线及y轴所围成的面积值为（ ） （A） 1 0 () x eex dx ;（B） 1 (lnln ) e yyy dy ; （C） 1 () e xx exe dx ;（D） 1 0 (lnln )yyy dy . 6曲线)0(cos2aar所围成图形的面积 A 为（ ） （A） 2 2 0 1 2 cos 2 ad （）;（B） 2 1 2 cos 2 ad （）; 2 （C） 2 2 0 1 2 cos 2 ad （）;（D） 2 2 2 1 2 cos 2 ad （）. 7 曲线( )yf x、( )yg x( ( )( )0)f xg x及直线,xa xb所
4、围成图形绕x轴旋转而成的 旋转体的体积为（ ） （A） 1 2 0 ( ) ( )f xg xdx ;（B） 1 22 0 ( )( )fxgx dx ; （C） 1 2 0 1 ( )( ) 2 f xg xdx ;（D） 1 22 0 1 ( )( ) 2 fxgx dx . 8曲线)1ln( 2 xy在 2 1 0 x上的一段弧长为（ ） （A） 2 1 2 2 0 1 1 1 dx x ;（B） 12 2 2 0 1 1 x dx x ; （C） 1 2 2 0 2 1 1 x dx x ;（D） 1 2 2 2 0 1ln 1xdx . 9矩形闸门宽ma，高mh，将其垂直放入水中，上
5、沿与水面平齐，则闸门一侧所受 压力为（ ） （A） 0 h agxdx ;（B） 0 a agxdx ; （C） 0 () h agxh dx ;（D） 0 h agxdx . 10*矩形闸门宽ma，高mh，将其垂直放入水中，上沿与水面相距为mb，则闸门 一侧所受压力为（ ） （A） 0 () h agbhx dx ;（B） 0 () h agbxh dx ; （C） 0 () h agbhx dx ;（D） 0 () h agxhb dx . 二、填空题 1.由bxaxgyxf ),()(围成图形的面积 S。 2.设曲线)x(fy 在b,a上连续， ，则曲线bx,ax),x(fy 及及x轴所
6、围成的 图形的面积 S。 3.曲线( ),( ),( ( )( )0)yf xyg xf xg x与x轴及两直线)(,babxax围成平面图形 绕x轴旋转产生的旋转体的体积为。 4.设平面图形由曲线0)( fr及射线,围成，则其面积可用定积分表 示为 5.椭圆1 2 2 2 2 b y a x 所围图形的面积为。 6.由曲线 x y 1 与直线xy 及2x所围成的图形的面积是。 3 7.曲线cos2ar 所围成的平面图形的面积为。 8. 曲线 2 yx、1x 和x轴所围成的图形绕y轴旋转产生的旋转体的体积为。 9. 心形线cos1 ar0a的弧长。 10弹簧拉长 002m，需要 98N 的力，
7、弹簧拉长 010m 所作的功为。 三、计算题（基本题 20 题） 1.计算曲线 x ey ， x ey 与直线1x所围成的图形的面积。 2. 计算曲线xysin，xycos与直线0x所围成的图形的面积。 3. 计算曲线2cosr所围成的图形的面积. 4. 计算曲线lnyx与直线 1 ,xxe e 和 y=0 所围成的图形的面积. 5.求由曲线yx 2与 y2x 2所围成的图形的面积 6.求由曲线yx 3与直线 x0、y1 所围成的图形的面积 7.求在区间0, 2 上 由曲线ysinx与直线x0、y1 所围成的图形的面积 8.计算心形线 0cos1aar所围成的图形的面积。 9.求曲线 y=ln
8、 x，x=2 及 x 轴围成的平面图形的面积 10.求抛物线 2 2yyx与直线xy 2围成的图形的面积 11. 计算由抛物线 2 1yx与直线1yx所围成的图形的面积 12.计算阿基米德螺线)0( aar上相应于从0到2的一段弧与极轴围成的图 形的面积 13. 计算由椭圆1 2 2 2 2 b y a x 所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积 14. 连接坐标原点O及点),(rhP的直线、直线hx 及x轴围成一个直角三角形.求这 个直角三角形绕x轴旋转所成的旋转体体积 15.求由曲线4xy ，1,2yy，y轴围成的平面图形绕y轴旋转而成的旋转体的 体积 16. 计算曲线 3 2 2 3
9、yx上相应于01x的一段弧的弧长 17.求心形线cos1 ar0a的弧长. 18.计算摆线 cos1 sin ay ax 的一拱20的长度. 19.已知弹簧拉伸 1 厘米需要的力是 3 牛顿， 如果把弹簧拉伸 3 厘米需要作的功是多 少？ 20.设在x轴的原点处放置了一个电量为+q的点电荷， 则距原点x处单位正电荷受到 的电场力 2 ( ) k F xq x ， 求单位正电荷沿x轴从x=a移动到x=b时电场力)(xF所作的功. 四、综合题与应用题（20 题） 1.求c(c0)的值 使两曲线yx 2与 ycx 3所围成的图形的面积为2 3 2.求由心形线1cosr 与圆3cosr所围成的标有阴影
10、线部分的图形的面积 3求曲线1r及cos1r所围成图形的公共部分的面积。 4 4求摆线 (sin ) (0,02 ) (1cos ) xa tt at yat 的一拱与x轴围成的图形的面积 5.求摆线ttaxsin，taycos1的一拱)20( t，和x轴所围成图形绕x轴旋转 产生的旋转体的体积 6求介于曲线 x ey 与它的一条通过原点的切线以及y轴之间的图形的面积. 7.计算曲线yx 3与直线 x2、y0 所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转产生的立体 的体积 8. 2 xy 和x轴，1x所围成图形分别绕x轴和y轴旋转所产生的旋转体的体积； 9. 求曲线yx与直线x1、x4、y0 所围成的图形
11、分别绕x轴、y轴旋转产生的 立体的体积 10.求曲线x 2y21 与 2 3 2 yx所围成的两个图形中较小的一块分别绕x轴、y轴旋转 产生的立体的体积 11.两根电线杆之间的电线，由于其本身的重量，下垂成曲线形，这样的曲线称为悬 链线，悬链线方程为 2 xx aa ee a x ya ch a ，其中a为常数，计算悬链线上介于bx与 bx 之间（对应于两根电线杆之间）的一段弧长 12.求星形线 ,20 ,sin ,cos 3 3 t tay tax 所围成图形绕x轴旋转产生的立体的体积 13.求星形线 ,20 ,sin ,cos 3 3 t tay tax 的弧长 14. 一物体按规律 3
12、ctx 作直线运动， 媒质的阻力与速度的平方成正比 计算物体由 0x移至ax 时，克服媒质阻力所作的功 15*过抛物线 2 xy 上一点),( 2 aaP作切线，问a为何值时所作切线与抛物线 14 2 xxy所围成的图形面积最小？ 16*.16*.设y=x 2定义在0 , 1上，t 为 ) 1 , 0(内的一点，问当t为何值时图 2 中两阴影 部分的面积 A1与 A2之和具有最小值。 图 2图 3 17.17.一个底半径为R(m)， 高为H(m)的圆柱形水桶盛满了水， 要把桶内的水全部吸出， 需要作多少功(水的密度为 10 3kg/m3，g 取 10m/s2)? 18有一闸门，它的形状和尺寸如
13、下图所示，水面超过门顶2米求闸门上所受的 水压力 5 2米 3米 2米 19*.一等腰梯形的闸门，两底长分别为 10m 与 6m，高为 20m，且上底位于水面，计 算闸门一侧所受到的水压力 x y O 6m 20m x x+dx xy 10 1 xy 10 1 10 10 20 20*一底为8米、高为6米的等腰三角形水泥板，铅直地沉没在水中，顶在上，底 在下且与水面平行，而顶离水面3米，水的密度为，试求它一侧所受的压力 21*.21*.一根弹簧按螺线ra盘绕，共计 10 圈，已知每圈的间隔 10 mm，试求弹簧的 全长 （二）常微分方程（二）常微分方程 一、选择题 1微分方程 0 4 3 yy
14、yxyxy的阶数是（） (A)3(B)4(C)5(D)2 2在下列函数中，能够是微分方程0 yy的解的函数是（） (A)1y(B)xy (C)xysin(D) x ey 3下列方程中是一阶线性方程的是（） (A)0ln3xdyxdxy(B)xyy dx dy xlnln (C)xxyyxsin 22 (D)02 yyy 4方程的3yyx通解是（） (A)3 x c y(B)c x y 3 (C)3 x c y(D)3 x c y 5微分方程0 x dy y dx 满足初始条件4 3x y的特解是（） (A)25 22 yx(B)cyx 43(C)cyx 22 (D)7 22 xy 6 6微分方程01 2 yxyx的通解是（） (A) 2 1xcy(B) 2 1x c y (C) 2 2 x cxey (D)cxxy 3 2 1 7微分方程 1 1 2 xxx y y的通解是（） (A)cx arctan(B)cx x arctan 1 (C)cx x
