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1、ADT与时间复杂度 (NOI培训),刘汝佳,储钱罐,有一只自动储钱罐，它有一个孔和一个按钮。存钱的时候，你可以从小孔往里面投一枚硬币；取钱的时候，只要按一下按钮，面值最大的硬币就会从孔里掉出来。 我们不知道储钱罐里面有什么，不过这也没什么大不了的，因为我们知道它的使用方法。存钱和取钱并不需要了解储钱罐的机理 抽象数据类型(ADT),小机器人,这个储钱罐的性能如何呢？也就是说：扔完一枚硬币以后需要多久才能扔第二枚硬币、按按钮多久后面值最大的硬币才会掉出来？ 自动储钱罐的设计者告诉你：钱罐里有一个很小的机器人，每次按下按钮的时候，它会从钱罐里找出最值钱的一枚，从孔里扔出来。那么小机器人的工作方式将
2、直接影响到储钱罐的性能。 ADT相同的数据结构，性能可能有差异,临时抱佛脚,小机器人是这样工作的：当你扔一枚硬币进来的时候，它什么都不做，自己睡大觉； 当你按按钮的时候，它慌了，赶紧找钱。它先随便挑出一个硬币拿在手里，然后把其他所有硬币的看一遍，如果发现更值钱的，就用把手里的硬币换掉，最后手里拿着的就是最值钱的硬币，然后从孔里扔出去。,分析,可以预料，这个钱罐“添加硬币”很快（小机器人啥都不做），找最大面值却很慢。 如果小机器人检查一枚硬币的时间是0.01秒，那么有100个硬币时需要1秒，有10,000个硬币时需要100秒（约两分钟），而1,000,000个硬币时就需要10,000秒（约2.8
3、小时）！你可以忍受这样的速度吗？,收银员,拿几个不同的小桶，每个桶装一种面值的硬币。假设一共有1元、5角、1角、5分、2分和1分共6种面值的硬币，则只需要六个桶。当来了一枚新硬币时，小机器人把它放到相应的盒子中；需要找钱时，小机器人只需要看1元的盒子里有没有硬币，有的话随便拿一个扔出去；如果没有的话再看5角的盒子有没有硬币，有的话随便拿一个扔出去不管有多少硬币，只要盒子装得下，总是最多只需要开6次桶即可，即使每开一个桶需要5秒钟，有1,000,000个硬币时最多也只需要半分钟，比刚才的2.8小时快多了。,可是,这个方法虽然好，但是前提是只有6种面值。如果1分、2分、3分、4分、. . .99元
4、9角8分、99元9角9分、100元整这1万种面值的硬币都有，那就需要1万个盒子。如果扔的1,000,000个硬币的面值全部不同，那么这个新方法就没有任何优势了。,如果学过数据结构,事实上，存在一个更好的结构来实现这个储钱罐，它就是二叉堆实现法。不管面值有多少种，在有1,000,000个硬币的情况下也最多只需要不到一秒钟。,储钱罐的ADT,储钱罐是一个优先队列(priority queue) ，每个硬币的优先级就是它的面值。每次优先级最大的出队。基本优先队列的操作如下： bool empty()：判断队列是否为空 void insert(i, p)：加入一个元素i，优先级为p int getma
5、x()：取得队列里最大元素并删除 每次投入一枚面值相当于执行操作insert，按一次按钮相当于先执行empty，如果队列不空，则执行getmax。,如何衡量时间性能？,只能与算法相关，而不能受到硬件、代码实现的影响 应尽量简单,抽象操作,对于单一操作的算法, 我们有以下公式： 运行时间 = 操作时间 X 操作次数 操作时间取决于计算机，而操作次数取决于算法。在刚才的钱罐的例子中，拿硬币、打开盒子的时间取决于机器人的硬件，而需要拿多少个硬币、打开多少个盒子却只和算法有关。 我们的目标是分析算法特性, 估算出操作次数。这样，对于典型的计算机速度，我们也可以估算它执行某个程序的时间；对于同一台计算机
6、，改变输入时估算它运行时间的变化。,渐进时间复杂度,如果规模为n，程序一的操作数为3n + 7，而程序二的操作数为10n2 + 5n + 23，显然程序一比程序二好。对于一般情况，如何判断两个程序哪个更好呢？显然，可以先数出两个程序的操作数目，再加以比较，但是对于复杂的程序，很难写出完整的表达式，更别说比较了。在算法分析理论中，我们使用渐进的方法，先把操作数化成简单的形式，然后比较它们的阶。,简化法则,简化的方法是：只保留最大项，忽略系数。比如程序一的3n+7化简后的结果为n，程序二为n2，而2n+7 + 10n50 + 987 log n 化简为2n。 显然，这样化简忽略了很多因素，但是它保留最主要的项，方便比较。,理论与现实,运行时间的影响因素,输入数据：最好、最坏、平均 使用随机数：期望运行时间等,多项式时间和指数时间,很多时候算法分析不能做到十分精确，我们往往不说操作数等于多少，而只说操作数的上限是多少，我们用记号g(n) = O(f(n)来表示当n充分大时，g(n)不超过f(n)的常数倍。如果f(n)为多项式（如n，n log n，n2），则称此算法为多项式时间算法，而像2n，n!这样的算法称为指数时间算法。从指数算法到多项式算法是一种巨大的改进。 有很多问题至今没有发现多项式算法。NP-完全问题就是这样一类问题,
