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1、第六章 样本及抽样分布,6.1 基本概念,一、总体:,在统计学中, 我们把所研究的全部元素组成的集合称作母体或总体, 总体中的每一个元素称为个体。,我们只研究感兴趣的某个或者几个指标(记为X)，因此把这些指标的分布称为总体的分布，记为XF(x)。,二、样本:,设总体X具有分布函数F(x),若X1, X2,Xn是具有分布函数F(x)的相互独立的随机向量，则称其为总体F（或总体X）的简单随机样本, 简称样本, 它们的观察值x1,x2, , xn称为样本观察值, 又称为X的n个独立的观察值。,三、统计量:,统计量是样本的函数,它是一个随机变量，如果x1, x2, , xn是样本观察值, 则g(x1,
2、 x2, , xn)是统计量g(X1, X2, , Xn)的一个观察值.,设X1, X2, , Xn是来自总体X的一个样本, g(X1, X2, , Xn)是一个与总体分布中未知参数无关的样本的连续函数，则称g(X1,X2,Xn)为统计量。,四、 常用的统计量:,注：,4.样本的联合分布：,2) 若总体X是离散型随机变量，其分布律为 px=P(X=x) , x=x1,x2, 则样本X1, X2, , Xn的联合分布:,例1：XU(0,), X1, X2, , Xn是来自X的样本， 求（X1, X2, , Xn）的联合密度函数。,定理: 设X1, X2, , Xn是来自总体X的一个样本, 并设总
3、体二阶矩存在,EX=,DX=2,则有,6.2 统计分布与抽样分布,统计量T(X1,X2,Xn)的分布称为抽样分布。,一、统计中常用的分布:,(一)2-分布,定理：,2. 分布与2(n)分布的关系：,3. 2(n)分布的性质：,(二) t-分布:,说明,(三) F分布:,例题,二、正态总体中统计量的分布(抽样分布):,例1、总体XN(3.4 , 62)，X1,X2,Xn是来自X的样本，要使样本均值落在(1.4 , 5.4)中的概率达到0.95，求n。,例2、设X1,X2,X10是来自总体N(0, 0.52)的样本，求：,例3、设X1,X2,X16是来自总体N(, 2)的样本，求：,例4、设X1,
4、X2,X16是来自总体N(, 2)的样本，未知，S220.8，求：,第七章 参数估计,7.1 点估计,一. 问题的提法:,二、矩估计法:,由辛钦定理可知：样本的原点矩依概率收敛到总体的原点矩，即,据此，我们来定义一种参数的估计方法。,定义：,三、极大似然估计方法:,说明,理论依据,定义：,极大似然估计的求解方法:,2、直接根据定义计算。,例8、设总体X服从0 , 区间上的均匀分布, 求的极大似然估计。,例9、设总体X服从,+1区间上的均匀分布,求的极大似然估计。,极大似然估计的性质:,例如，例8中参数的方差DX的极大似然估计为：,7.2. 估计量的评选标准,1、无偏性:,例1、设X1, X2,
5、 , Xn是来自总体X的一个样本, 并设总体二阶矩存在,EX=，DX=2，证明：,例2、X1,X2,Xn是来自XU(0,)的样本， 证明： 都是的无偏估计。,2、有效性:,所有无偏估计中方差最小的无偏估计称为最小方差无偏估计，或称为有效估计。,上例中，n1时，,例3、对任何总体X，EX=，DX=2 ,X1 ， X2, ,Xn 是来自X 的样本， 证明： 比 有效。,3、相合性（一致估计）:,7.3 区间估计,定义:,说明,2、置信区间长度越短，估计越精确，所以一般我们是对称的取；可以证明此时的置信区间长度最短。,1、 所以置信区间并不唯一。,求置信区间的一般思路（枢轴量法）,1、设法构造一个随
6、机变量Z=Z(X1,X2,Xn; ),除参数 外, Z不包含其他任何未知参数,Z的分布已知(或可求出),并且不依赖于参数 ,也不依赖于其他任何未知参数。（Z即称为枢轴量）,7.4.正态总体参数的区间估计,一、单个正态总体参数的区间估计:,用表格表示如下：,说明,1、我们讲的都是双侧的置信区间，实际中还有单侧的置信区间，如书上的定义。,2、若函数g(x)单调增，则：,若函数g(x)单调减，则：,二、两个正态总体的区间估计:,用表格表示如下：,第八章 假设检验,8.1 基本概念,一、原理:,例、甲乙两种名酒各4杯，从中任取4杯，若取 出的都是甲种酒称试验成功（A）， 求：1.试验一次成功的概率；
7、2.某人称能区分这两种酒，让他做了10次试验，结果成功了3次，试判断此人是否真的有区分这两种酒的能力。,假设检验所采用的方法类似与高数中的反证法: 先假设某个结论成立, 然后在这个结论成立的条件下进行推导和运算, 如果得到矛盾, 则推翻原来的假设, 结论不成立；这 里的矛盾是与实际推断原理的矛盾, 即如果 “ 小概率事件在一次试验中发生了”, 则认为原假设不成立, 因此, 假设检验是一种带有概率性质的反证法.,基本思想,二、假设检验的一般步骤：,三、假设检验的两类错误:,1. 第一类错误: 如果原假设H0成立,而观察值落入拒绝域,从而作出拒绝H0的结论,称作第一类错误,又称“弃真”的错误.由定
8、义知, 显著性水平恰好是犯第一类错误的概率；,2. 第二类错误: 如果原假设H0不成立, 而观察值却落入接受域,从而作出接受H0的结论,称作第二类错误, 又称“取伪”的错误,通常记作。,检验时当然是两类错误越小，检验结果越精确，但是在样本容量确定的条件下，我们不可能使得两类错误都减小。,说明,一般按照控制犯第一类错误的原则进行检验,而不考虑犯第二类错误（保护原假设的原则）, 这种检验问题,称为显著性检验问题。,8.2 单个正态总体参数的检验,一、2已知，检验 :,二、2未知，检验 :,三、已知，检验 2 :,四、未知，检验 2 :,8.3 两个正态总体参数的检验,二、 未知，检验 :,一、 已知，检验 :,四、 未知，检验 :,三、 已知，检验 :,一、理论分布是取有限个值的离散分布,8.4 总体分布的拟合检验,步骤：,例、某工厂分早、中、晚三班，近期发生了15 次事故，其中6次在早班，3次在中班，6次在晚班；试判断事故发生的概率是否与班次有关。（取0.05）,二、理论分布为一般分布,步骤：,
