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1、方法技巧 10 10? ? ? 构造齐次方程巧解一类圆锥曲线问题 广西南宁三中(530021) ? 黎承忠 ? 解析几何中, 很多问题常涉及到以二次曲 线的弦为直径的圆的方程. 若用圆心和半径的 方法求解, 一般较麻烦, 这里介绍两种简捷的 方法. 第一种方法 引理: 已知二次曲线 C: f (x , y) = A x2+ Bxy + Cy2+ Dx + Ey + F = 0, 直线 L: lx + my+ n= 0. 则 L 与 C 交于 P, Q 两点且弦PQ 对原点张直角弦的充要条件为: ( A + C) n2- (Dl+ Em)m+ F(l2+ m2)= 0(* ). 证明: 若曲线
2、C 过原点且 P, Q 在坐标轴 上, 则 F= 0, 且 P ( - n l , 0), Q( 0, - n m ) 满足 f ( x, y)= 0, 代入相加便得(* ). 若 P, Q 不在坐标轴上, L 不过原点. ? n 0, 由 lx + my+ n= 0, 得 1= lx+ my - n . 代入 f (x, y)= 0 中得 A x 2+ Bx y+ Cy2 + (Dx+ Ey)( lx+ my - n )+ F(lx+ my - n )2= 0. ! ( 目 的在于变成齐次式) ! 是齐次方程, 设 L 与C 的交点坐标为 (x0, y0), 则 A x20+ Bx0y0+
3、Cy20+ ( Dx0+ Ey0) # (- lx0+ my0 n ) + F( - lx0+ my0 n )2 = Ax 2 0+ Bx0y0+ Cy 2 0+ ( Dx0+ Ey0) + F= 0. ? (x0, y0) 满足 ! , ! 代表过原点且与 L 与C 的交点( x0, y0) 的两条直线方程, ! 可化 为: (A - Dl n + Fl2 n2 ) x2+ ( B - Dm n - El n + 2Flm n2 )xy+ (C- Em n + Fm2 n2 )y 2= 0. 又设两直线方程为: y= ? x, y = ?x, 则两直 线垂直的充要条件为? ?= 0, 即 C
4、- Em n + Fm2 n2 A - Dl n + Fl2 n2 = - 1 或(A + C)n2- ( Dl+ Em) n+ F(l2+ m2)= 0. 第二种方法 若直线 L 与二次曲线C 有两个交点A , B, 则将直线方程与二次曲线方程联立, 分别消去 x, y, 所得的关于 x 和y 两个一元二次方程( 让 二次项系数相同) , 相加即得以 A B 为直径的圆 的方程. 应用这个方法解决有关问题是较方便 的. 方法一的应用 例 1%? 设A 和B 为抛物线y 2= 4px(p 0) 上原点以外的两个动点, 已知 OA ( ) 是否存在定 点 M, 使过 M 的动直线 l 与 R 交
5、于 P、 Q, 且 + POQ 恒为直角? 证明你的结论. 解析: ( ) )设抛物线方程为 y2= 2p x( p 0) , A , B, C 三点分别是(x1, y1), ( x1, y2), ( x3, y3), 由 y2= 2p x, y= - 4x+ 20. ?8x2- ( p + 80) x + 200= 0. ? x2+ x3= ( p + 80)/ 8, y2+ y3= - 4, (x2+ x3)+ 40= - p/ 2, 从而 x1= ( 11p - 80)/ 8, y1= p / 2, 代入 y2= 2p x中, 得 p= 8. ? R 的方程为y 2= 16x. ( )设
6、存在定点 M( x0, y0), 则 PQ 方程为 lx + my- lx0= 0 代入 y2= 16x 中得 y2= 16x ( lx+ my lx0+ my0 ) ? 16lx2- 16mxy - (lx0+ my0)y 2= 0. ? - (lx0+ my0) 16l = - 1 ?l ( x0- 16) + my0= 0恒成立. ? 定点为(16, 0) . 例 3% ? 抛物线 y 2= p ( x + 1)( p 0), 直 线 x+ y= m 与x 轴交点在抛物线的准线的右 边. ( ) )求证: 直线与抛物线总有两个交点; ( ) 设直线与抛物 线的交点为 Q、 R, OQ 当
7、 t=3时, rmax= 1, 所以 r 的 取值范围为 3 2 , 1 . 例 10 % ? 已知双曲线(x + 4) 2 4 - y 2 12= 1 的 右焦点为 F, 右准线为 l, 椭圆 Q 以F 和 l 为相 应的焦点和准线, 过点 F 作倾斜角为 45 0的直 线 m 交椭圆Q 于A 、 B 两点, 以 AB 为直径作 圆O, 当椭圆 Q 的中心在圆O,内时, 求椭圆 Q 的离心率e 的取值范围. 解析: 由双曲线方程知, 双由线中心为 (- 4, 0), 右焦点 F( 0, 0), 右准线 l: x= - 3, 设 椭圆 Q 的长半轴、 短半轴、 半焦距分别为 a、 b、 c,
8、由题意知椭圆 Q 的中心G(c, 0), 且a 2 c - c= 3 可得 a2= c2+ 3c, b2= 3c, 所以椭圆 Q 的方程为 ( x- c)2 c2+ 3c + y2 3c= 1! , 直线 m 过点 F (0, 0) 且倾 斜角为 45 0, 所以直线 m 的方程为: y = x, 代入 ! 可得(c+ 6) x 2 - 6cx - 9c= 0 和(c+ 6) y 2 - 6cx- 9c= 0(显然 0), 上二式相加得过 A , B 的圆方程为 (c+ 6) (x2+ y2)- 6cx- 18c= 0, 易验证圆 心( 3c c+ 6, 3c c+ 6)在直线 m 上, 所以
9、此方程即为以 AB 为直径的圆 O,的 方程由点G(c, 0)在 O,内, 所以有 (c+ 6) c2+ 6c2- 18c 0? 0 c 32, 而 e2= c2 a2= c2 3c+ c2 = 1- 3 3+ c ? 0 e2 2-2, 所 以 e 的取值范围为(0,2-2) . 例 11 % ? 双曲线 Q 的中心在坐标原点 O, 焦点在 x 轴上, 过双曲线右焦点且斜率为 3 5 的直线交双曲线于 A, B 两点, 若 OA & OB 且 | A B| = 4, 求双曲线 Q 的方程. 解 析: 依 题 意 设 双 曲 线Q 的 方 程 为 x 2 a2 - y 2 b2 = 1! 则直
10、线的方程为 y= 3 5 (x - c) (其中 a, b, c 皆为正实数, 且 c2= a2+ b2) 由! 、 分别消去得方程 (5b2- 3a2) x2+ 6a2cx - 3a2c2- 5a2b2= 0 和(5b2- 3a2)y2+ 215b2cy + 3b2c2- 3a2b2= 0. 显然 5b2- 3a2 0( 否则 b a = 3 5 , 直线 l 与双曲线Q 的渐近线平行, 与 Q 只有一个交 点, 与题设矛盾) . 由以上二方程相加得过 A, B 两点的圆方程 (5b2- 3a2)(x2+ y2)+ 6a2cx2+ 215b2cy- 3a2c2+ 3b2c2- 8a2b2=
11、0. 易验证圆心(- 3a2c 5b2- 3a2, 15b2c 5b2- 3a2 ) 在直 线 l 上. 又因 OA &OB, 所以此圆经过坐标原点 O, 由此可得- 3a2c2+ 3b2c2- 8a2b2= 0? 3a4+ 8a2b2- 3b4= 0. ? (a2+ 3b2)(3a2- b2)= 0. ? b2= 3a2, c= 2a. 所以该圆方程即为 x2+ y2+ ax+ 15ay= 0, 又因其直径| AB| = 4, 所以有a2+ 15a2= 4? a2= 1, b2= 3. ? 所求的双曲线 Q 的方程为: x 2-y 2 3 = 1. 特例: 当直线 A x + By + C=
12、 0 与圆( x - a) 2+ (y- b)2= r2 的相交弦 PQ 为直径时的圆 方程为: A x+ By+ c= 0? ? ! (x - a) 2+ (y- b)2= r2 ?两式 相加即可. 例 12% ?圆 x 2 + y 2 - 6y + m= 0 和直线 x+ 2y- 3= 0 交于 P、 Q 两点, 且以 PQ 为直径 的圆过原点, 求实数 m. 解析: 将x2+ y2+ x- 6y+ m= 0与 x+ 2y- 3= 0 两式相加得 x2+ y2+ 2x - 4y+ m- 3 即为以 PO 为直 径的圆, 又( 0, 0) 在圆上, ? m= 23. 以上两种方法希望读者能够灵活应用.
