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1、一、微分的定义 二、微分的基本公式 三、微分的四则运算法则 四、微分形式的不变性 五、微分在近似计算中的应用,微分及其运算,一、微分的定义,当正方形的边长从 变到 时，相应的面积增量 .函数增量 分成两部分，一部分是 的线性部分 ，一部分是关于 的高阶无穷小,当立方体的边长从 变到 时，相应的体积增量,函数增量 分成两部分，一部分是 的线性部分 一部分是关于 的高阶无穷小,定义 设y=f(x)在点 的某邻域内有定义， 属于该邻域.若,其中A与 无关，而 是关于 的高阶无穷小，则称y=f(x)在 可微，而 称为y=f(x)在点 处的微分，记为,定理3.7 y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(
2、x)可导，且有 .,由于 ，即函数的导数等于函数的微分与自变量微分之比，因此导数也称微商.,微分dy的几何意义，就是曲线y=f(x)在点 处的切线的纵坐标的增量.,二、微分的基本公式,微分的基本公式：,三、微分的四则运算法则,定理3.8 设u=u(x)，v=v(x)可微 ，则 , u , v可微，且有,证,定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 ，则 可微, 且有 .,证,例1 设,解,例2 设y=x tan xsin x，求dy.,解,注意，当然也可以直接用公式 求微分.,例3 设,解,四、微分形式的不变性,设y=f(u),u=g(x)都可微，则复合函数y=f(g(x)也可微，此时有,可见，若y=f(u)可微，不论u是自变量还是中间变量，总有 ，这就是微分形式的不变性.利用微分形式的不变性，可以计算复合函数的微分.,例4 设,解,如果不引入中间变量u，则可,例5 设,解,当然，也可以直接用公式 来求微分， 即求出 后再乘以dx得到dy.,五、微分在近似计算中的应用,设y=f(x)在 可导，当自变量从 变到x(即取得增量 )，则有,当x很接近 时，即 很小时，就有近似公式,即,当 容易计算时，就可以用上述的近似公式来计算 附近点的函数值.,例6,解,
