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1、3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.直线的点斜式方程 (1)定义:如图所示,直线l过定点P(x0,y0),斜率为k,则把方程y-y0=k(x-x0)叫做直线l的点斜式方程,简称点斜式.,(2)说明:如图所示,过定点P(x0,y0),倾斜角是90的直线没有点斜式,其方程为x-x0=0,或 . 探究1:(1)过点(x0,y0),且平行于x轴的直线应如何表达? (2)直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢? 答案:(1)y=y0. (2)不能.有斜率的直线才能写成点斜式方程,凡是垂直于x轴的直线,
2、其方程都不能用点斜式表示.,x=x0,2.直线的斜截式方程 (1)定义:如图所示,直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),则方程 .叫做直线l的斜截式方程,简称斜截式. (2)说明:一条直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的 .倾斜角是 的直线没有斜截式方程. 探究2:直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗? 答案:直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标,截距是一个实数,可正、可负、可为0.当截距非负时,它等于直线与y轴交点到原点的距离;当截距为负时,它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数.,y=kx+b,截距,直角,自我检测,1.(直线的点斜式方程)
3、直线方程可表示成点斜式方程的条件是( ) (A)直线的斜率存在 (B)直线的斜率不存在 (C)直线不过原点 (D)以上均不正确,A,A,A,4.(直线的斜截式方程)在y轴上的截距为2,且与直线y=-3x-4平行的直线的斜截式方程为 .,答案:y=-3x+2,5.(两直线平行或垂直关系)若直线l过点(0,7),且与直线y=-4x+2垂直,则直线l的方程为 .,题型一,直线的点斜式方程,【例1】 (2018烟台调研)求满足下列条件的直线方程: (1)过点P(-4,3),斜率k=-3; (2)过点P(3,-4),斜率k=3;,课堂探究素养提升,解:(1)因为直线过点P(-4,3),斜率k=-3,所以
4、直线的点斜式方程为y-3= -3(x+4),即y=-3x-9. (2)因为直线过点P(3,-4),斜率k=3,所以直线的点斜式方程为y+4=3(x-3),即y=3x-13.,解:(3)直线过点P(5,2),且与x轴平行,故斜率k=0,由直线的点斜式方程得y-2=0(x-5),即y=2. (4)直线过点P(3,2),且与y轴平行,故斜率k不存在,所以直线方程为x=3.,(3)过点P(5,2),且与x轴平行; (4)过点P(3,2),且与y轴平行.,误区警示 已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标,均可用直线方程的点斜式表示,直线方程的点斜式,应在直线斜率存在的条件下使用.当直线的
5、斜率不存在时,直线方程为x=x0.,即时训练1-1:已知三角形的顶点坐标分别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),试求这个三角形的三条边所在直线的点斜式方程.,【备用例1】 直线l经过点P(-5,-4),且l与坐标轴围成的三角形的面积为5,试求l的方程.,题型二,直线的斜截式方程,解:由题知,直线l与l1平行, 所以直线l的斜率为-2,直线l与l2在y轴上的截距相同, 故在y轴上的截距是-2, 由斜截式方程知l的方程为y=-2x-2.,【例2】 已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程.,变式探究:若将本
6、例中“直线l与l1平行”改为“直线l与l1垂直”,其他条件不变,又如何求解?,方法技巧 直线的斜截式方程的求解策略 (1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距,代入方程即可. (2)当斜率和截距未知时,可结合已知条件,先求出斜率和截距,再写出直线的斜截式方程.,即时训练2-1:(2018河北唐山一中周练)写出下列直线的斜截式方程: (1)直线的倾斜角是60,在y轴上的截距是5; (2)直线在x轴上的截距为4,在y轴上的截距为-2.,题型三,平行与垂直的应用,【例3】 当a为何值时, (1)两直线y=ax-2与y=(a+2)x+1互相垂直?,解:(1)设两直线的斜率分别为k1
7、、k2, 则k1=a,k2=a+2. 因为两直线互相垂直, 所以k1k2=a(a+2)=-1. 解得a=-1. 所以当a=-1时,两条直线互相垂直.,(2)两直线y=-x+4a与y=(a2-2)x+4互相平行?,方法技巧 设直线l1和l2的斜率k1,k2都存在,其方程分别为l1:y=k1x+b1, l2:y=k2x+b2,那么l1l2k1=k2且b1b2;k1=k2且b1=b2两条直线重合;l1l2k1k2=-1.,即时训练3-1:ABC中,A(1,-1),B(4,a),C(3,3).若ABC是以B为直角的直角三角形. (1)求a;,(2)求直线AB的方程.,【备用例2】 (1)当a为何值时,直线l1:y=-2x+2a与直线l2:y=(a2-3a)x+2 平行; (2)若点A(1,2)在直线l上的射影为B(-1,4),求直线l的方程.,谢谢观赏！,
