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1、直角三角形直角三角形 第第 2 2 课时课时 试题资料库：试题资料库： 例 1 已知 ABC 中， 90BAC ，AB=AC，AE 是过 A 点的一条直线，且 B、C 在 AE 的异侧， BDAE 于 D，CEAE 于 E，求证： （1）BD=DE+CE （2）若直线绕点 A 旋转到图 2 的位置时（ CEBD ）其余的条件不变，问 BD 与 DE、CE 的关系 如何？请予以证明 （3）若直线 AE 绕 A 点旋转到图 3 的位置时， （ CEBD ）其余条件不变，则 BD 与 DE、CE 的关 系如何？请直接写出结果，不须证明。 证明：证明： （1） BDAE 于 D CEAE 于 E 90
2、AECADB 90ADBBAC 90BADCAEBADABD CAEABD （同角的余角相等） 在ABD和 CAE 中， CAAB CEAADB CAEABD CAEABD （AAS） BD=AE，AD=CE AE=AD+DE BD=CE+DE B E C D A 图 1 （2） CEDEBD 证明：证明： BDAE CEAE 90DBADAB 90BAC 90CAEDAB EACDBA 在DBA和 EAC 中， ACAB EACDBA ED90 EACDBA （AAS） BD=AE，AD=CE CEDEADDEAEBD E D B A C 图 2 （3） CEDEBD B A D E C 例
3、 2 已知： CBAABC ，AD、DA分别是 BC、 CB 边上的高。求证：DAAD A B C DD C A B 证明：证明： CBAABC BAAB BB BCAD CBDA BDAADB 90 在ABD与DBA中 BAAB BB BDAADB DBAABD DAAD 例 3 如图已知： ABC 中，AB=AC，CEAE， BCCE 2 1 ，求证： BACE 。 A B CD E 证明：证明：作 ADBC 于 D AB=AC BCBD 2 1 又 BCCE 2 1 BD=CE 在 ABDRt 与 ACERt 中， CEBD ACAB ACERtABDRt （HL） BACE 例 4 已
4、知：如图，在 ABC 中，BC 边的中点为 E 过 E 作 BC 的垂线交 BA 延长线于 D，过点 C 作 CFBD 于 F，交 DE 于 G， BCDF 2 1 ，求证： BFCB 2 1 。 A BC E F D G 证明：证明：连结 BG 在 BEG 与 CEG 中， EGEG CEGBEG CEBE CEGBEG BG=CG GCEGBE 在 DGF 与 CGE 中， CEBCDF EGCDGF GECDFG 2 1 90 CGEDGF GCED DG=CG BG=DG GBDD GBCGBD BDBG 2 1 BFCB 2 1 例 5 已知： ABCRt 中， C 是直角，D 是
5、AB 上一点，且 BD=BC，过 D 作 AB 的垂线交 AC 于 E ，求 证：CDBE。 证明：证明： ABC 为 Rt 90ACB 又 DEAB ACBEDB90 在 BDERt 与 BCERt BEBE BCBD BCERtBDERt CBEDBE 设 BE 与 CD 交于点 F 在 BCF 与BDF中， BFBF DBFCBF BDBC BDFBCF 21 又 18021 9021 CDBE 例 6. 已知：在 ABC 中， ABC 45 ，H 是高 AD 和高 BE 的交点，求证：BH=AC。 A B C D E H 证明： 45ABC BD=AD ADBD ADCBDH DACH
6、BD 90 CADBDH 例 7. 已知：CD=AC，AF=DF，21，求证：CECF。 A B C D F E 2 1 证明： 21 CEAD AF=DF CFAD CFCE 例 8. 已知： 90ACB ，AC=BC，AC=AD，DEAB，求证：CE=ED=DB。 A C D B E 证明： AC=AD ADCACD 90ADEACE EDCECD CE=DE AC=BC 45AB 又 DEAB DE=DB CE=ED=DB 例 9. 已知：在 ABC 中， CABC2 ，ADBC 于 D，E 在 AB 延长线上，且 BE=BD，ED 延长线 交 AC 于 F，求证：F 是 AC 中点。
7、B E D C F A 证明： BDEEABD BDBE BDEE BDEABD2 又 CABD2 CBDE CFDC FD=FC 90ADFFDC 90CDAF ADFDAF AF=FD AF=FC F 为 AC 中点 例 10. 在 ABCRt 中， 90BAC ，ADBC，21，EGBC，求证：FGAC。 1 B 2 GD F E C A 证明： BEBE BGEBAE 21 90 BGEBAE AB=BG AE=EG BGFBAF AF=FG EGAE FEFE FGAF GFEAFE FAEFGE ADEG GECDAE GECFGE FGAC 例 11. 已知：AB=DC，PA=P
8、D，PB=PC，求证：ADBC。 A B C D P 证明： PA=PD PDAPAD PCBPBCPCPB PCPB PDPA DCAB PDCPAB PDCPAB PCDPBA DCBABC ADCBAD 又 360)(2ABCBAD 180ABCBAD ADBC 例 12. 已知：AD 是 ABC 中 ABC 角平分线，AC=AB+BD，求证： CB2 。 A BC D 证明： 在 AC 上取一点 E 使 AE=AB ADAD DAEBAD AEAB EADBAD AEDB，BD=DE AC=AB+BD BDEC EC=ED CEDC CAED2 CB2 A BC D E 例 13. 已
9、知： ABC 和BDE都是等边三角形，求证：BD+DC=AD。 A B C D E 证明： 60EBDABC CBDABE BDBE CBDABE BCAB CBDABE AE=CD AD=AE+ED=DC+BD 例 14. 已知：等边三角形 ABC 的边长为a，在 BC 延长线上取一点 D，使 CD=b，在 BA 延长线上取一 点 E，使 AE= ba ，求证：EC=ED。 A B C D E 证明： EC=ED，在 AE 上取一点 F，使 AF=CD 连 FD AB=BC， 60B BFD为正 60BFD 120EFD AEFD EACEFD ACFE DFEEAC EC=ED A B C D E F 例 15. 在 ABC 中，BD=DC，AP 平分 BAC ，交 BC 于 E，过 D 作 MNAP，F 是垂足，求证： BM=CN。 A BC D F E M N P 证明： 过 C 作 CHAB 交 MN 于 H CHBMCHDBMD DCBD HDCMDB DHCBMDCHBM / ANMAMFANFAMF CHNAMF NCHN CH=CN BM=CN
