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1、深入理解课文,了解孙中山,了解“布衣”与总统的关系,了解布衣总统的来历及其布衣特色的体现,体会甘于淡泊精神对当代青年的教育意义。二次函数与一元二次方程重点题型探究类型一、二次函数图象与坐标轴交点例1(1)判断下列二次函数的图象与x轴是否有公共点,若有求出公共点坐标,若没有,说明理由.y=-x2-x+1; ; y=x2+3x+4.思路点拨:二次函数y=ax2+bx+c与x轴公共点横坐标即方程ax2+bx+c=0的实根.解:有两个公共点对于方程 -x2-x+1=0,方程有两个不等实根两根为 两个公共点坐标为;只有一个公共点对于方程 方程有两个相等实根,公共点坐标为(-2,0);没有公共点,理由如下
2、:对于方程 x2+3x+4=0=32-414=-70,方程没有实数根二次函数 y=x2+3x+4与x轴无公共点.(2)已知函数的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( )A. B. C.且 D.且思路点拨:只要当y=0时,0即可,k-3=0时也可以,故选B.答案:B总结升华:(1)当,则方程有两个不相等实根,这时二次函数的图象与x轴有两个交点;(2)当,则方程有两个相等实根,这时二次函数的图象与x轴有且只有一个交点;(3)当,则方程没有实根,这时二次函数的图象与x轴没有交点.举一反三:【变式 1】已知二次函数y=(m-2)x2+2mx+m+1,其中m为常数,且满足-1m2,试判断此抛物线的开口方
3、向,与x轴有无交点,与y轴的交点在x轴上方还是在x轴下方.解:-1m2.m-20,抛物线与y轴的交点在x轴上方.=4m2-4(m-2)(m+1)=4m2-4(m2-m-2)=4m+8=4(m+1)+40.抛物线与x轴有两个不同的交点.总结升华:此题目也可以用数形结合方法来判断抛物线与 x轴有两个不同交点(用抛物线与y轴的交点C在x轴上方,开口向下,必与x轴有两个不同交点).【变式2】二次函数y=mx2+(2m-1)x+m+1的图象总在x轴的上方,求m的取值范围.思路点拨:抛物线总在x轴上方表明(1)开口向上;(2)与x轴没有公共点.解:由题意类型二、利用图象法求一元二次方程的解例2.(1)阅读
4、材料回答问题:有如下一道题:画图求方程 的解.两位同学的解法如下:甲:将方程 化为,画出的图象,观察它与x轴的交点,得出方程的解.乙:分别画出函数和的图象,观察它们的交点,把交点的横坐标作为方程的解.你对这两种解法有什么看法?请与你的同学交流.答案:上面甲、乙两位同学的解法都是可行的,但乙的方法要来得简便,因为画抛物线远比画直线困难,所以只要事先画好一条抛物线 的图象,再根据待解的方程,画出相应的直线,两线交点的横坐标即为方程的解.所以建议同学们以后尽量用乙的方法.(2)已知函数y=mx26x1(m是常数)求证:不论m为何值,该函数的图象都经过y轴上的一个定点;若该函数的图象与x轴只有一个交点
5、,求m的值解:当x=0时,所以不论为何值,函数的图象经过轴上的一个定点(0,1)第一种情况:当时,函数的图象与轴只有一个交点;第二种情况:当时,若函数的图象与轴只有一个交点则方程有两个相等的实数根,所以,综上,若函数的图象与轴只有一个交点,则的值为0或9举一反三:【变式 1】利用函数的图象,求方程的解:解:先把方程化成x2=-2x+3.如图:在同一直角坐标系中分别画出函数和的图象,得到它们的交点 (-3,9)和(1,1), 则方程的解为x=-3或x=1.总结升华:一般地,求一元二次方程 的近似解时,通常先把方程化成的形式,然后在同一直角坐标系中分别画出y=x2和两个函数的图象,得出交点,交点的
6、横坐标即为方程的解.【变式2】利用函数的图象,求方程组的解:思路点拨:可以通过直接画出函数和的图象,得到它们的交点,从而得到方程组的解.解:在同一直角坐标系中画出函数和的图象,如图,得到它们的交点坐标 (-2,0),(3,15), 则方程组的解为.总结升华:利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤来解,关键是根据图象来理解方程和函数的内在关系.类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用例3已知抛物线的顶点P(3,-2)且在x轴上所截得的线段AB的长为4.(1)求此抛物线的解析式;(2)抛物线上是否存在点Q,使QAB的面积等于12,若存在,求点Q的坐标,若不存在,请说明理由.思路点拨:已知
7、抛物线的顶点坐标及与x轴公共点间的距离时,可利用抛物线的对称性求抛物线与x轴两个公共点坐标,并采用顶点式(待定系数),可以大大减少计算量.解:(1)由已知,可得抛物线的顶点为(3,-2) 设抛物线的解析式为y=a(x-3)2-2且对称轴为x=3,由抛物线的对称性可知,当抛物线在 x轴上截得的线段长为4时,则点A、点B到直线x=3的距离均为2A(1,0),B(5,0)a(1-3)2-2=0,解得.(2)假定存在点Q(m,n),使SQAB=12, 又当n=6时,解得m1=-1,m2=7当n=-6时,无实根 Q(-1,6)或(7,6)为所求.例4已知二次函数y=-x2+(2m+2)x-(m2+4m-
8、3)(其中m为非负整数),其图象交x轴于点A、点B,且点A在原点左侧,点B在原点右侧.(1)求此二次函数的解析式;(2)一次函数y=kx+b的图象经过点A,与这个二次函数的图象交于点C且SABC=10,求一次函数的解析式.解:(1)抛物线开口向下,与x轴有两个公共点且分别在原点两侧,表示x=0时y0m=0y=-x2+2x+3为所求.(2)令y=0,-x2+2x+3=0解得x1=-1,x2=3A(-1,0),B(3,0),AB=4设C(p,q)q=-p2+2p+3SABC=10,当q=5时,-p2+2p+3=5,无实根,当 q=-5时,-p2+2p+3=-5,p1=-2,p2=4C1(-2,-5
9、),C2(4,-5)若y=kx+b过A(-1,0),C(-2,-5)若y=kx+b过A(-1,0),C(4,-5)y=5x+5或y=-x-1为所求.【变式1】已知:关于x的方程(1)当a取何值时,二次函数的对称轴是x=-2;(2)求证:a取任何实数时,方程总有实数根.解:(1)二次函数的对称轴是x=-2 解得a=-1 经检验a=-1是原分式方程的解.所以a=-1时,二次函数的对称轴是x=-2;(2)当a=0时,原方程变为-x-1=0,方程的解为x= -1; 当a0时,原方程为一元二次方程,当方程总有实数根, 整理得, a0时 所以a取任何实数时,方程总有实数根.认识不够深刻全面,没能做到内心外行,表率化人。对照党章和焦裕禄等先进模范典型,感觉自己对党性锻炼标准不高、要求不严。