《2018届高三数学二轮复习第一篇专题突破专题四数列第2讲数列求和及简单应用课件理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高三数学二轮复习第一篇专题突破专题四数列第2讲数列求和及简单应用课件理（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2讲 数列求和及简单应用,考情分析,总纲目录,an=,考点一 利用Sn、an的关系式求an 数列an中,an与Sn的关系:,典型例题 (1)已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,若S1=2,3 -2an+1Sn = ,则an= . (2)(2017成都第二次诊断性检测)在数列an中,a1=1,a1+ + + = an(nN*),则数列an的通项公式为an= .,解析 (1)由题意可得3 -2an+1Sn- =(Sn-an+1)(3Sn+an+1)=0,又an0,所以Sn =an+1,则Sn-1=an(n2),两式相减并移项得an+1=2an(n2),又S1=a1=a2=2,则an =a
2、22n-2=2n-1(n2),故an= (2)根据a1+ + + =an, 有a1+ + + =an-1(n2), -得 =an-an-1(n2)n2an-1=(n2-1)an(n2) = (n2), 所以 = (n2), 所以an=a1 ,答案 (1) (2),= = = (n2). a1=1满足上式,an= . 方法归纳 给出Sn与an的递推关系求an的一般思路: 一是利用Sn-Sn-1=an(n2)转化为an的递推关系,再求其通项公式; 二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.,跟踪集训 1.若数列an的前n项和Sn=n2-n+1,则它的通项公式an= .,答案,解
3、析 当n=1时,a1=S1=12-1+1=1, 当n2时,an=Sn-Sn-1=(n2-n+1)-(n-1)2-(n-1)+1=2n-2,a1=1不满足上式,an =,2.在数列an中,a1+ + + =2n-1(nN*),则an= .,答案 n2n-1,解析 依题意得,数列 的前n项和为2n-1, 当n2时, =(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1, 又 =21-1=1=21-1,因此 =2n-1(nN*),故an=n2n-1.,考点二 数学文化与数列,典型例题 (2017课标全国,3,5分)我国古代数学名著算法统宗中有如下问 题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖
4、头几盏 灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是 上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯 ( ) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏,解析 由题意可知,由上到下灯的盏数a1,a2,a3,a7构成以2为公比的等 比数列,S7= =381,a1=3.故选B. 方法归纳 与等差数列一样,我国古代数学涉及等比数列的问题也有很多,因此,涉 及等比数列的数学文化题也频繁出现在各级各类考试试卷中.解决这类 问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题,掌握等比数列的概 念、通项公式和前n项和公式.,答案 B,跟踪集训 (2017潍坊二模)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:
5、 “三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关, 要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:“有一个人走378里路, 第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6 天才到达目的地.”则此人第4天和第5天共走的路程为 ( ) A.60里 B.48里 C.36里 D.24里 答案 C 由题意知,此人每天走的路程构成公比为 的等比数列.设等 比数列的首项为a1,则有 =378,解得a1=192,则a4=192 =24,a5=2,4 =12,a4+a5=24+12=36,所以此人第4天和第5天共走了36里路,故选C.,考点三 数列求和,典型例题 (2017天津
6、,18,13分)已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首 项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求an和bn的通项公式; (2)求数列a2nb2n-1的前n项和(nN*). 解析 (1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知b2 +b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0,解得q=2或q=-3,又因为q0, 所以q=2.所以,bn=2n. 由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8, 由S11=11b4,可得a1+5d=16, 联立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2
7、.,所以,数列an的通项公式为an=3n-2,数列bn的通项公式为bn=2n. (2)设数列a2nb2n-1的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,有a2nb2n-1=(3n-1) 4n, 故Tn=24+542+843+(3n-1)4n, 4Tn=242+543+844+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1, 上述两式相减,得 -3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4n+1 = -4-(3n-1)4n+1=-(3n-2)4n+1-8. 得Tn= 4n+1+ . 所以,数列a2nb2n-1的前n项和为 4n+1+ .,方法归纳 数列求和最常用的四种方法 (1
8、)公式法 适合求等差数列或等比数列的前n项和,对于等比数列,利用公式法求和时,一定要注意q是否取1. (2)错位相减法 这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,主要用于求数列anbn的前n项和,其中an、bn分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法 把数列和式中的各项分别裂开后,消去一部分从而计算和的方法,适用,于求数列 的前n项和.若an为等差数列,d为公差,则 = . (4)分组求和法 一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若将这个数列适当拆开,重 新组合,就会变成几个可以求和的部分(即能分别求和),然后再合并.,跟踪集训 1.(2017课标全国,15,5分)等差数列an的前n项
9、和为Sn,a3=3,S4=10,则 = .,答案,解析 设公差为d,则 an=n. 前n项和Sn=1+2+n= , = =2 , =2 1- + - + - =2 =2 = .,2.(2017合肥第一次教学质量检测)已知等差数列an的前n项和为Sn,且 满足S4=24,S7=63. (1)求数列an的通项公式; (2)若bn= +(-1)nan,求数列bn的前n项和Tn.,解析 (1)an为等差数列, 解得 an=2n+1.,(2)bn= +(-1)nan=22n+1+(-1)n(2n+1)=24n+(-1)n(2n+1), Tn=2(41+42+4n)+-3+5-7+9-+(-1)n(2n+
10、1)= +Gn. 当n=2k(kN*)时,Gn=2 =n,Tn= +n; 当n=2k-1(kN*)时,Gn=2 -(2n+1)=-n-2,Tn= -n-2, Tn=,考点四 数列中的不等式问题,典型例题 设Sn为数列an的前n项和,已知a1=2,对任意nN*,都有2Sn=(n+1)an. (1)求数列an的通项公式; (2)若数列 的前n项和为Tn,求证: Tn1. 解析 (1)因为2Sn=(n+1)an,所以2Sn-1=nan-1(n2), 两式相减,得2an=(n+1)an-nan-1(n2), 即(n-1)an=nan-1(n2), 所以当n2时, = , 所以 = . 因为a1=2,所
11、以an=2n.,方法归纳 解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点: (1)数列是一类特殊的函数,其定义域是正整数,在求数列最值或不等关 系时要特别注意; (2)解题时应准确构造函数,利用函数性质时应注意限制条件; (3)证明不等关系时进行适当的放缩.,1.已知等差数列an的前n项和为Sn,且a1=1,S3=a5.令bn=(-1)n-1an,则数列 bn的前2n项和T2n为 ( ) A.-n B.-2n C.n D.2n,随堂检测,答案 B 设等差数列an的公差为d, 由S3=a5得3a2=a5, 3(1+d)=1+4d,解得d=2, an=2n-1,bn=(-1)n-1(2n-1),
12、T2n=1-3+5-7+(4n-3)-(4n-1)=-2n.故选B.,2.(2017湖南五市十校联考)等差数列an的前n项和为Sn,且a1m时,Sn与an的大小关系是 ( ) A.Snan D.大小不能确定,答案 C 若a10,若d0,当m3时,有am=Sm,因此am0, Sm0,又Sn=Sm+am+1+an,显然Snan.故选C.,3.(2017武汉武昌调研考试)设等差数列an的前n项和为Sn,已知a1=9,a2 为整数,且 SnS5,则数列 的前9项和为 .,答案 -,解析 设等差数列an的公差为d.由SnS5得 又a1=9, 得- d- ,又a2为整数,d=-2,an=a1+(n-1)d
13、=11-2n, = ,数列 的前n项和Tn= = , T9=- =- .,4.(2017张掖第一次诊断考试)已知数列an的前n项和为Sn,若an=-3Sn+4, bn=-log2an+1. (1)求数列an的通项公式与数列bn的通项公式; (2)令cn= ,其中nN*,记数列cn的前n项和为Tn,求Tn+ 的值.,解析 (1)由题意知a1=1, an=-3Sn+4,an+1=-3Sn+1+4. 两式相减并化简得an+1= an, an= . bn=-log2an+1=-log2 =2n.,(2)由(1)知cn= . 则Tn= + + + , Tn= + + + ,-得, Tn= + + + - =1- . Tn=2- . 可得Tn+ =2.,
