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1、第15章 轴对称图形与等腰三角形,15.3 等腰三角形,第1课时 等腰三角形的性质,1,课堂讲解,等腰三角形的边角性质:等边对等角 等腰三角形的轴对称性:“三线合一”,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,等腰三角形是一类特殊的三角形.等腰三角形除 具有一般三角形的性质外,还具有什么样的特殊性质 呢?,1,知识点,等腰三角形的边角性质:等边对等角,操作 画一个等腰三角形ABC,如图(1).把边AB叠合到边AC上,这时点 B与点C重合,并出现折痕AD,如图(2).观察图形:ADB与ADC有 什么关系?图中哪些线段或角相等?AD与BC垂直吗?为什么?,知1导,知1导,等腰三角形是轴对称图
2、形,底边上的中线所在的 直线是它的对称轴.,知1讲,等腰三角形的边角性质:等边对等角 定理1:等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”) 要点精析: (1)适用条件:必须在同一个三角形中 (2)应用格式:在ABC中,因为ABAC,所以B C. (3)作用:它是证明角相等常用的方法,应用它可省 去三角形全等的证明,因而更简便,例1 已知:如图,在ABC中,AB=AC,BAC= 120,点 D,E是底边上两点,且BD=AD,CE=AE.求DAE的度数. 解:AB=AC,(已知) B=C.(等边对等角) B=C= 又 BD=AD,(已知) BAD=B=30.(等边对等角) 同理,CAE=C=30.
3、 DAE=BAC-BAD-CAE =120-30-30 =60.,知1讲,(来自点拨),知1讲,本例中去掉AB=AC这个条件,能否求得DAE 的度数? 本题给你怎样的启示?,例2 (1)在ABC中,ABAC,若A50,求B; (2)若等腰三角形的一个角为70,求顶角的度数; (3)若等腰三角形的一个角为90,求顶角的度数 导引:给出的条件中,若底角、顶角已确定,可直接运用三角形 的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质求解;若 给出的条件中底角、顶角不确定,则要分两种情况求解 解:(1)ABAC, BC. ABC180, 502B180, 解得B65.,知1讲,知1讲,(来自点拨),(2)当
4、底角为70时,顶角为18070240. 当顶角为70时,70即为所求 因此顶角为40或70. (3)若顶角为90,则底角为 若底角为90,则三个内角的和将大于180,不 符合三角形内角和定理 因此顶角为90.,总 结,知1讲,(来自点拨),在等腰三角形中求角时,要看给出的角是否确 定为顶角或底角若已确定,则直接利用三角形的 内角和定理求解;若没有指出所给的角是顶角还是 底角,要分两种情况讨论,并看是否符合三角形内 角和定理若等腰三角形中给出的一内角是直角或 钝角,则此角必为顶角,知1讲,例3 (广西贺州)如图,在等腰ABC中,AB AC,DBC15,AB的垂直平分线MN 交AC于点D,则A的度
5、数是_ 导引:根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距 离相等可得ADBD,根据等边对等角可得AABD, 然后表示出ABC,再根据等腰三角形两底角相等可得C ABC,然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可 MN是AB的垂直平分线,ADBD,AABD, DBC15,ABCA15, ABAC,CABCA15, AA15A15180,解得A50.,50,(来自点拨),总 结,知1讲,(来自点拨),由线段的垂直平分线可以得到相等的线段,运 用等腰三角形性质可以将同一个三角形中线段的相 等关系转化为所对内角之间的相等关系,知1讲,例4 已知:如图,在ABC中,AB= AC,点D在AC上,且 BD=BC
6、=AD,求A和C的度数. 解:AB=AC,BD=BC=AD,(已知) ABC=C=BDC, A=ABD.(等边对等角) 设A=x, 则BDC=A+ABD=2x.(三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角的和) ABC=C=BDC=2x, x+ 2x + 2x=180.(三角形内角和等于 180) 解方程,得x= 36. A=36,C=72.,(来自教材),知1讲,例5 求证:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 已知:如图(1),在RtABC和RtABC中,C=C =90,AB=AB,AC=AC. 求证:RtABCRtABC.,本例是14.2节中已经学过的判定两个直角三角形全等的定
7、理“HL”的证明.,知1讲,证明:在平面内移动RtABC和RtABC,使点A和点A、 点C和点C重合,点B和点B在AC的两侧图(2). BCB=90+90=180,(等式性质) B,C,B三点在一条直线上.(平角的定义) 在ABB中, AB=AB, (已知) B=B.(等边对等角) 在RtABC和RtABC中, RtABCRtABC. (AAS),(来自教材),1,填空: (1)等腰直角三角形的每一个锐角的度数是_; (2)如果等腰三角形的底角等于40,那么它的顶角的 度数是_; (3)如果等腰三角形有一个内角等于80,那么这个三角形 的最小内角等于_. (中考盐城)若等腰三角形的顶角为40,
8、则它的底角度数 为( ) A40 B50 C60 D70,知1练,(来自教材),2,(来自典中点),3,(中考湘西州)如图,在等腰三角形ABC中, ABAC,BD平分ABC,A36, 则1的度数为( ) A36 B60 C72 D108 (中考丹东)如图,在ABC中,AB AC,A30,E为BC延长线上一 点,ABC与ACE的平分线交于点D, 则D的度数为( ) A15 B17.5 C20 D22.5,知1练,(来自典中点),4,2,知识点,等腰三角形的轴对称性:“三线合一”,知2讲,等腰三角形的轴对称性:“三线合一” 定理2:等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边结论:等腰 三角形顶角的平分线、
9、底边上的中线、底边上的高相 互重合(简称“三线合一”) 要点精析:(1)含义:这是等腰三角形所特有的性质,它实际是 一组定理,应用过程中,在三角形是等腰三角形前提下, “顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高”只要知道其 中“一线”,就可以说明是其他“两线” (2)作用:是证明线段相等、角相等、垂直等关系的重要方法, 应用广泛,知2讲,(来自点拨),(3)对称性:等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线(或底边上 的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴 (4)应用格式:如图,在ABC中, ABAC,ADBC,AD平分BAC(或BDCD); ABAC,BDDC,ADBC(或AD平分BAC); AB
10、AC,AD平分BAC,BDDC(或ADBC),知2讲,例6 如图,在ABC中,ABAC,AD是BC边上的中线, ABC的平分线BG交AC于点G,交AD于点E, EFAB,垂足为F. (1)若BAD25,求C的度数; (2)求证:EFED. 解: (1) ABAC,AD是BC边上的中线, BADCAD, BAC2BAD50. ABAC, CABC,知2讲,证明: (2) ABAC,AD是BC边上的中线, ADBC,BDE90. EFAB, BFE90,BFEBDE. 又BG平分ABC, FBEDBE. BE为公共边, BDEBFE, EFED.,(来自点拨),总 结,知2讲,(来自点拨),等腰三
11、角形“三线合一”的性质是证明角相等、线 段相等和垂直关系的既重要又简便的方法;因为题目的 证明或计算所求结果大多都是单一的,所以“三线合一” 的性质的应用也是单一的,一般得出一个结论,因此应 用要灵活在等腰三角形中,作“三线”中“一线”, 利用“三线合一”是等腰三角形中常用的方法,知2讲,例7 如图所示,ABAE,BCDE,BE, AMCD, 垂足为M.求证:CMMD. 导引:由已知AMCD和结论CMMD,联想到等腰三角形“三 线合一”的性质,由此连接AC,AD构造等腰三角形 证明:如图,连接AC,AD. 在ABC和AED中, ABCAED(SAS)ACAD. 又AMCD,CMMD.,总 结,
12、知2讲,对于单一等腰三角形构造“三线合一”的基本图 形,作底边上的高、中线还是顶角平分线,可根据解 题需要作辅助线;对于叠合等腰三角形构造“三线合 一”的基本图形,则需巧作辅助线,下面就如下几种 图形说明巧作辅助线的方法:,总 结,知2讲,(来自点拨),1如图甲的情形,需作底边上的高; 2如图乙的情形,需作顶角平分线; 3如图丙的情形,需作中线; 4如图丁的情形,需连接AD并延长再证其是“三线”即可,1,已知:如图,AB=AC,AB的垂直 平分线ED交AC于点D,A =40. 求DBC的度数. 如图,在ABC中,ABAC,点D是BC边的中点,点E 在AD上,那么下列结论不一定正确的是( ) A
13、ADBC BEBCECB CABEACE DAEBE,知2练,(来自典中点),2,(来自教材),3,如图,在ABC中,ABAC,ADBC于点D,DE AB于点E,DFAC于点F,下列结论:BAD CAD;DEDF;BDCD;若点P在直线AD 上,则PBPC.其中正确的是( ) A B C D,知2练,(来自典中点),1.等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义: (1)已知等腰三角形底边上的中线,则它平分顶角,垂 直于底边; (2)已知等腰三角形顶角的平分线,则它垂直平分底边; (3)已知等腰三角形底边上的高,则它平分底边,平分顶 角 2.等腰三角形“三线合一”的性质常常可以用来证明角相等、 线段相等和线段垂直在遇到等腰三角形的问题时,尝 试作这条辅助线,常常会有意想不到的效果,