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1、第15章 轴对称图形与等腰三角形,15.3 等腰三角形,第1课时 等腰三角形的性质,1,课堂讲解,等腰三角形的边角性质：等边对等角 等腰三角形的轴对称性：“三线合一”,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,等腰三角形是一类特殊的三角形.等腰三角形除 具有一般三角形的性质外，还具有什么样的特殊性质 呢？,1,知识点,等腰三角形的边角性质：等边对等角,操作 画一个等腰三角形ABC，如图(1).把边AB叠合到边AC上，这时点 B与点C重合，并出现折痕AD，如图(2).观察图形：ADB与ADC有 什么关系？图中哪些线段或角相等？AD与BC垂直吗？为什么？,知1导,知1导,等腰三角形是轴对称图
2、形，底边上的中线所在的 直线是它的对称轴.,知1讲,等腰三角形的边角性质：等边对等角 定理1：等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”) 要点精析： (1)适用条件：必须在同一个三角形中 (2)应用格式：在ABC中，因为ABAC，所以B C. (3)作用：它是证明角相等常用的方法，应用它可省 去三角形全等的证明，因而更简便,例1 已知：如图，在ABC中，AB=AC，BAC= 120，点 D，E是底边上两点，且BD=AD，CE=AE.求DAE的度数. 解：AB=AC，（已知） B=C.（等边对等角） B=C= 又 BD=AD，（已知） BAD=B=30.（等边对等角） 同理，CAE=C=30.
3、 DAE=BAC-BAD-CAE =120-30-30 =60.,知1讲,（来自点拨）,知1讲,本例中去掉AB=AC这个条件，能否求得DAE 的度数？ 本题给你怎样的启示？,例2 (1)在ABC中，ABAC，若A50，求B； (2)若等腰三角形的一个角为70，求顶角的度数； (3)若等腰三角形的一个角为90，求顶角的度数 导引：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三角形 的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质求解；若 给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两种情况求解 解：(1)ABAC， BC. ABC180， 502B180， 解得B65.,知1讲,知1讲,（来自点拨）,(2)当
4、底角为70时，顶角为18070240. 当顶角为70时，70即为所求 因此顶角为40或70. (3)若顶角为90，则底角为 若底角为90，则三个内角的和将大于180，不 符合三角形内角和定理 因此顶角为90.,总 结,知1讲,（来自点拨）,在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否确 定为顶角或底角若已确定，则直接利用三角形的 内角和定理求解；若没有指出所给的角是顶角还是 底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内 角和定理若等腰三角形中给出的一内角是直角或 钝角，则此角必为顶角,知1讲,例3 （广西贺州）如图，在等腰ABC中，AB AC，DBC15，AB的垂直平分线MN 交AC于点D，则A的度
5、数是_ 导引：根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距 离相等可得ADBD，根据等边对等角可得AABD， 然后表示出ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得C ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可 MN是AB的垂直平分线，ADBD，AABD， DBC15，ABCA15， ABAC，CABCA15， AA15A15180，解得A50.,50,（来自点拨）,总 结,知1讲,（来自点拨）,由线段的垂直平分线可以得到相等的线段，运 用等腰三角形性质可以将同一个三角形中线段的相 等关系转化为所对内角之间的相等关系,知1讲,例4 已知：如图，在ABC中，AB= AC，点D在AC上，且 BD=BC
6、=AD，求A和C的度数. 解：AB=AC，BD=BC=AD，（已知） ABC=C=BDC， A=ABD.(等边对等角） 设A=x， 则BDC=A+ABD=2x.（三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角的和） ABC=C=BDC=2x, x+ 2x + 2x=180.(三角形内角和等于 180） 解方程，得x= 36. A=36，C=72.,（来自教材）,知1讲,例5 求证：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 已知：如图(1)，在RtABC和RtABC中，C=C =90，AB=AB，AC=AC. 求证：RtABCRtABC.,本例是14.2节中已经学过的判定两个直角三角形全等的定
7、理“HL”的证明.,知1讲,证明：在平面内移动RtABC和RtABC，使点A和点A、 点C和点C重合，点B和点B在AC的两侧图(2). BCB=90+90=180,（等式性质） B，C，B三点在一条直线上.（平角的定义） 在ABB中， AB=AB， (已知) B=B.(等边对等角) 在RtABC和RtABC中， RtABCRtABC. (AAS),（来自教材）,1,填空： (1)等腰直角三角形的每一个锐角的度数是_; (2)如果等腰三角形的底角等于40，那么它的顶角的 度数是_; (3)如果等腰三角形有一个内角等于80，那么这个三角形 的最小内角等于_. (中考盐城)若等腰三角形的顶角为40，
8、则它的底角度数 为( ) A40 B50 C60 D70,知1练,（来自教材）,2,（来自典中点）,3,(中考湘西州)如图，在等腰三角形ABC中， ABAC，BD平分ABC，A36， 则1的度数为( ) A36 B60 C72 D108 (中考丹东)如图，在ABC中，AB AC，A30，E为BC延长线上一 点，ABC与ACE的平分线交于点D， 则D的度数为( ) A15 B17.5 C20 D22.5,知1练,（来自典中点）,4,2,知识点,等腰三角形的轴对称性：“三线合一”,知2讲,等腰三角形的轴对称性：“三线合一” 定理2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边结论：等腰 三角形顶角的平分线、
9、底边上的中线、底边上的高相 互重合(简称“三线合一”) 要点精析：(1)含义：这是等腰三角形所特有的性质，它实际是 一组定理，应用过程中，在三角形是等腰三角形前提下， “顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高”只要知道其 中“一线”，就可以说明是其他“两线” (2)作用：是证明线段相等、角相等、垂直等关系的重要方法， 应用广泛,知2讲,（来自点拨）,(3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上 的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴 (4)应用格式：如图，在ABC中， ABAC，ADBC，AD平分BAC(或BDCD)； ABAC，BDDC，ADBC(或AD平分BAC)； AB
10、AC，AD平分BAC，BDDC(或ADBC),知2讲,例6 如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线， ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E， EFAB，垂足为F. (1)若BAD25，求C的度数； (2)求证：EFED. 解： (1) ABAC，AD是BC边上的中线， BADCAD， BAC2BAD50. ABAC， CABC,知2讲,证明： (2) ABAC，AD是BC边上的中线， ADBC，BDE90. EFAB， BFE90，BFEBDE. 又BG平分ABC， FBEDBE. BE为公共边， BDEBFE， EFED.,（来自点拨）,总 结,知2讲,（来自点拨）,等腰三
11、角形“三线合一”的性质是证明角相等、线 段相等和垂直关系的既重要又简便的方法；因为题目的 证明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一” 的性质的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应 用要灵活在等腰三角形中，作“三线”中“一线”， 利用“三线合一”是等腰三角形中常用的方法,知2讲,例7 如图所示，ABAE，BCDE，BE， AMCD， 垂足为M.求证：CMMD. 导引：由已知AMCD和结论CMMD，联想到等腰三角形“三 线合一”的性质，由此连接AC，AD构造等腰三角形 证明：如图，连接AC，AD. 在ABC和AED中， ABCAED(SAS)ACAD. 又AMCD，CMMD.,总 结,
12、知2讲,对于单一等腰三角形构造“三线合一”的基本图 形，作底边上的高、中线还是顶角平分线，可根据解 题需要作辅助线；对于叠合等腰三角形构造“三线合 一”的基本图形，则需巧作辅助线，下面就如下几种 图形说明巧作辅助线的方法：,总 结,知2讲,（来自点拨）,1如图甲的情形，需作底边上的高； 2如图乙的情形，需作顶角平分线； 3如图丙的情形，需作中线； 4如图丁的情形，需连接AD并延长再证其是“三线”即可,1,已知：如图，AB=AC，AB的垂直 平分线ED交AC于点D，A =40. 求DBC的度数. 如图，在ABC中，ABAC，点D是BC边的中点，点E 在AD上，那么下列结论不一定正确的是( ) A
13、ADBC BEBCECB CABEACE DAEBE,知2练,（来自典中点）,2,（来自教材）,3,如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D，DE AB于点E，DFAC于点F，下列结论：BAD CAD；DEDF；BDCD；若点P在直线AD 上，则PBPC.其中正确的是( ) A B C D,知2练,（来自典中点）,1.等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义： (1)已知等腰三角形底边上的中线，则它平分顶角，垂 直于底边； (2)已知等腰三角形顶角的平分线，则它垂直平分底边； (3)已知等腰三角形底边上的高，则它平分底边，平分顶 角 2.等腰三角形“三线合一”的性质常常可以用来证明角相等、 线段相等和线段垂直在遇到等腰三角形的问题时，尝 试作这条辅助线，常常会有意想不到的效果,
