《2015-2016学年人教b版选修4-1 1.3.1圆幂定理 课件（36张）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015-2016学年人教b版选修4-1 1.3.1圆幂定理 课件（36张）（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、导入新课,在前面的知识当中，我们已经学习了有关圆的切线定理，知道了圆的切线是一条经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线.,如图，我们通过圆外的一点P作该圆的切线PC，同时，引一条割线交圆于A、B两点，那么 圆的切线PC与割线PA、PB 有什么关系呢？,而对于任意位置一点P，过点P的割线交圆于A、B两点，割线 PA PB 的值又与哪些因素有关系呢？,这就是本节我们即将探讨的问题.,1.3.1 圆幂定理,教学目标,【知识与能力】,使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解决有关问题；,通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方法；,【过
2、程和方法】,从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的观点的教育.,【情感态度与价值观】,教学重难点,【重点】,相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用.,【难点】,灵活运用圆幂定理解题.,教学内容,如图，弦 AB 和 CD 交O内一点P,那么，图中相等的角有哪些？由此能得到哪两个三角形相似？并推出哪些线段成比例呢？,下面，我们利用圆周角定理和弦切角定理以及相似三角形进行讨论.,如图，AB、CD为圆O的两条任意弦.相交于点P，连接AD、BC，则D=B，A=C.所以APDBPC.所以,相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的 两条线段长的积相等.,在相交弦
3、定理中，有两个特例：,（1）如图,若圆内的两条弦交于圆心O，则有PA PBPCPD圆的半径R，此时AB， CD是直径，相交弦定理当然成立.,（2）如图当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时， 点P和B，D重合，这时PBPDO，仍然有 PAPBPCPDO，相交弦定理仍然成立.,切割线定理：,如图，PT为圆切线，PAB为割线.连接TA，TB，则PTA=B（弦切角等于同弧圆周角）所以PTAPBT，所以,从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项.,下面对相交弦定理和切割弦定理作进一步分析：,由切割线定理和相交弦定理不难看出，不论点P在圆内或圆外，通过圆的任一条割线交圆于
4、A , B两点，只要点P的位置确定了，则 PA PB 都是定值.,设定植为k，则：,当点P在圆外时，如图，由切割线定理，可得,k = PA PB = PT2 = PO2 - r2 ( r表示O的半径 ),当点P在圆内时, 如图, 过点P作AB垂直于OP, 则：,k = PA PB = PA2 = r2 - PO2 ( r表示O的半径 ),当点P在圆上时，显然k=0.,已知（O , r），通过一定点 的任意一条割线交圆于A , B两点，则：,当点P在圆外时，k= PO2 - r2 ； 当点P在圆内时，k= r2 - PO2； 当点P在O上时，k= 0.,由上，我们可以得到：,我们称定值k为点 P
5、 对O 的 “幂”,圆幂定理：,例1. 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为 12cm和16cm两段，第二条弦的长度为32cm， 求第二条弦被交点分成的两端的长.,解： 设第二条弦被交点分成的一端长为 x cm, 则另 一段长为 (32 x) cm，根据相交弦定理，有 x (32 x)=1216，即x2 32x+192=0. 解得x1=8或x2=24.因此 32 x1=24，32 x2=8. 另一条弦被交点分成的两端长分别为8cm ,24cm.,例2.,如图：AB，CD是圆的两条弦，另一条弦EF分别交AB，CD于点G，H，且 EG=HF ，求证：AG GB = CH HD,解：,依题意，由相
6、交弦定理得 GA GB = GE GF, HC HD = HE HF,又知EG=HF 得 HE = GF，所以 GE GF = HE HF，所以AG GB = CH HD.,例3.,如图：AE切圆于D，并和弦CB的延长线交于点A, CD平分BDE , CD=7 , AD=12 , 求AC的长.,解：,依题意，知AE切圆O于D，推得 EDC=DBC, 又DC平分角BDE，推得EDC=BDC ,则可得 DBC =BDC ，所以DBC是等腰三角形，BC=CD=7，由切割线定理得 AD2=ABAC，122= (AC-7) AC,设AC=x，122= (x-7)x , 得 x1=16 ,x2= -9（舍
7、）， 所以 AC=16 .,例4.,如图：ABC中, C= 90, BC= 2cm, D是AC上的一点，以CD为直径的圆与AB相交于E，F，且AE=EF=FB，求圆的直径CD.,解：设AE长为x,依题意可知BC 是圆的切线，由切割线定理 得BC2=BF BE=22=4,又知 AE=EF=FB=x，可得 BF BE =2x2 =4，x= 2 则AB = 3 2 ，所以在RTABC中AD2=AB2-BC2 得AC= 14, 又AE AF=AD AC,从而得到,CD= AC- AD= cm,例5. AB是ABC的外接圆O的直径，D是O上 的一点，DEAB于点E，且DE的延长线分别 交AC、 O、BC
8、于点F、M、G . (1) 求证：AE BE = EF EG. (2) 连结BD,若BDBC于且EF=MF=2,求AE、MG.,(1)证明 AEF GEB 即可. (2) DEAB，所以DE=EM=4，连结AD，可得 AEF GEA，所以AE2=DE EF,所以 AE=2 2,由相交弦定理 DE EM=AE BE . 因为 AEFGEB 所以 EF EG=AE BE ,解：,课堂小结,圆幂定理归纳,观察下列图形并说出相应定理,PC2 =PAPB PAPB=PCPD PAPB=PCPD,点P运动到,圆外,(推论),(相交弦定理),(割线定理),A,B重合于T,PAPB=PCPD,(割线定理),C
9、,D重合于S,PT2 =PCPD PS2 =PAPB,PT =PS ( PT2 = PS2 ),(切割线定理),(切线长定理),以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的.,高考链接,1. （09全国卷）已知圆O：x2+y2=5 和点A（1， 2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_.,答案：,解析：由题意可直接求出切线方程为y-2= - (x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和 ，所以所求面积为 5 = .,2. (09四川卷)若 O1:x2+y2=5 与 O2: (x-m)2+y2=20(mR) 相交于A、B两点，且两圆在点A处的
10、切线互相垂直，则线段AB的长度是_.,考点分析：本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题. 解析：由题知O1(0,0)，O2(m,0),且 5 |m| 3 5 又O1A AO2 ，所以有m2=( 5 )2+( 2 5 )2=25 m=5 ，,课堂练习,1. 如图,在O中, AB = AC = CD , AB=3,AEED=5,则EC的长是_.,2. 如图，在半径为6的半圆AB上有两动点M、N,弦AM、BN相交于点P，则APAM+BPBN的值为_.,N,3.已知O1、 O2内切于点A， O1的半径为3，O2的半径为2，点P是O1上的任意一点（与点A不重合），直线PA交O2于点C，P
11、B与O2相切于点B，则 =_.,4.如图，O1与O2外切与点P，AB是两圆的外公切线，A,B为为切点，AB与O1O2的延长线相交于点C, 延长AP交O2于点D，点E在AD的延长线上. （1）求证：ABP是直角三角形. （2）若ABAC=APAE，试判断AC与EC是否垂 直，并说明理由. （3）在（2）问条件下，求证：PC=EC. （4）在（2）问条件下，若AP = 4 , PD= ,求 的值.,1. 2,2. 144,习题答案,3. 解析：本题所求PB:PC非相似形线段比，因而可考虑用切割线定理，将PB、PC用同一量表示，即可求所得.,解：连结O1O2,则必过点A，连结O1P、O2C,则O2C
12、/ O1P,所以,3,2,=,=,设每一份为k,则AC=2k, AP=3k,由切割线定理 PB2=PCPA,所以PB2=k3k，所以PB= 3k， 所以PB:PC= 3k:k= 3:1,PAB= EAC PABCAE , 所以EAC = APB = 90,4.解析：证ABP为直角三角形，可证APB为直角，由作内公切线知可用切线长定理证；由比例式可证明三角形相似，再由（1）可证得（2），再由切割线定理求得AB，利用三角形相似，求得线段比例值.,证明： （1）过点P作内公切线PN，由切线长定理 AN=NP=NB,所以 APB为直角三角形. （2）AB AC=AP AE ,（3）连结O1A,则 O1
13、A / EC, E= O1AP= O1PA= EPC , 所以，PC=EC. （4）由切割线定理AB2=APAD , 所以 AB=5 ,所以 PB=3,因为CPB CAP,所以BC:PC = PB:PA = 3:4 = BC:EC,1. D,2. 解：连接CD，因为AC为圆O的直径，所以 CD AB,由射影定理BC2=BD BA，所以,3. 由题设：EFAE,所以 EC=CF, OA=6, AC=2, 所以 OC=4 , BC=10 ,由相交弦定理， AC CB = EC CF , 所以 EC2=AC CB= 210 =20 , 所以 EC=2 5.,教材习题答案,4. 解：EF = 3 , r=5 , 所以 AE = = ED ED = EA EB =21 又 CE : ED = 3 : 4 , CE = 3k, ED = 4k ,所以 12K2 = 21 , 所以 k2 = , k = 所以 CD = CE+ED = 7k =,5. 解：因为AE , BF是圆O的切线，所以AE2=AC AD , BF2=BD BC , 因为 AC=BD , 所以 AC+CD=BD+CD 即 AD=BC , 所以 AE2 = BF2, 所以 AD = BC .,
