《非线性信号处理-2.非线性动力学初步3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《非线性信号处理-2.非线性动力学初步3（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、非线性时间信号处理,陶超 2010.3.17,第二章 非线性动力学初步,2.6 吸引子,吸引子是动力学系统演化很长时间后到达的一种状态,不动点(Fixed point),不动点/平衡点 若x*满足F(x*)=0则称x*为不动点.从不动点出发的解的速度为零，因此它会停留在该点而且对所有的t都有(t; x*)=x* 线性系统的原点是唯一的不动点,不动点的稳定性,Lyapunov 稳定:对任意,存在0，使得所有满足|x0-x*|0使得当t时，所有满足|x0-x*|的x0有|(t;x0)-x* |0， 渐进稳定(吸引 attracting)： L-稳定 + 弱渐进稳定,周期轨(闭轨),满足(T;x0)
2、=x0, (t;x0)x0 (0tT)的点称为周期为T的周期点。如果x0是这样的点，则集合(t;x0)：0tT成为周期轨或者闭轨,周期轨的稳定性,Lyapunov 稳定:对于周期轨=(t;x0)：0tT,若对任意0,存在0，使得对于的邻域内的任一点x0,都有(t;x0) t0 位于的邻域内,则称 为依轨道L稳定 (钟摆的轨道) 弱渐进稳定:若存在0使得当t时，使得对于的邻域内的任一点x0,都有(t;x0)与之间的距离趋于0，则称 为依轨道弱渐进稳定。 渐进稳定(吸引 attracting)： L-稳定 + 弱渐进稳定 渐进稳定的周期轨又称为吸引的周期轨,钟摆的周期轨(周期轨族),极限环-孤立的
3、周期轨,吸引的 排斥的 半稳的,(附近的轨道不是周期),实际条件下， 我们能观察到什么样的信号？,L-稳定不动点？周期轨？ 弱渐进稳定不动点？周期轨？ 渐进稳定的不动点？周期轨？ 不稳定的不动点？周期轨？,吸引子-不可分的吸引集A,吸引子是指相空间上这样的一个集合A：在相空间上存在一个俘获区B(trapping region)，当时间趋于无穷大时，从其出发的所有轨道(t,B)都趋于集合A，则集合A称为吸引子.,An attractor is a subset A of the phase space characterized by the following three conditions
4、: 1. A is forward invariant under f: if a is an element of A then so is f(t,a), for all t 0. 2. There exists a neighborhood of A, called the basin of attraction (trapping region) for A and denoted B(A), which consists of all points b that “enter A in the limit t “. 3. There is no proper subset of A
5、having the first two properties.,渐进稳定的不动点(吸引子),渐进稳定的周期轨(吸引子),Van der Pol oscillator,敏感依耐性!,点的初始值敏感依赖性：存在 r 0,使得对任意的0，存在y0,满足|y0-x0| 0,使得|( ;x0)-( ;y0) | r 点集的初始值敏感依赖性：系统限制在不变集S上具有对初值的敏感依赖性是指，存在 r0,对任意的x0 in S以及0，存在y0 in S,满足|y0-x0| 0,使得|( ;x0)-( ;y0) | r A is forward invariant under f: if a is an el
6、ement of A then so is f(t,a), for all t 0.,举例,稳定不动点不具有初始敏感性 不稳定不动点具有初始敏感性 不动点点集不具有初始敏感性 稳定周期轨上的点不具有初始敏感性 不稳定周期轨上的点具有初始敏感性 周期轨点集不具有初始敏感性 准周期轨点集不具有初始敏感性,周期轨的初始敏感依耐性,稳定周期轨上的点不具有初始敏感性 不稳定周期轨上的点具有初始敏感性 周期轨点集不具有初始敏感性,奇异(strange)吸引子,若某系统有吸引子A，且限制在A上具有对初始值的敏感依赖性，则称集合A为混沌吸引子,混沌吸引子,初始敏感依赖性,Lorenz attractor,吸引子的类型,平庸的吸引子 不动点(Fixed Point) 极限环(Limit Cycle) 极限环面(Limit Tori) 奇异吸引子(Strange attractor),
