《2018年高中数学 第二章 推理与证明 2.3.1 数学归纳法课件11 新人教b版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学 第二章 推理与证明 2.3.1 数学归纳法课件11 新人教b版选修2-2（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学归纳法,请问：以上三个结论正确吗？为什么? 得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点,问题 1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。,问题 3：教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”,问题 2：三角形的内角和为180，四边形的内角和为2180,五边形的内 角和为3180，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) 180。, 共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2是用的不完全 归纳法，问题3是用的完全归纳法。,一、提出问题, 1、错,2、对,3、对,二、概念,1、归纳法定义： 对于某
2、类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。,2、归纳法分类： 归纳法,想一想：,由两种归纳法得出的结论一定正确吗？,说 明：,（1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论 不一定正确。,（2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。,提出问题,如何寻找一种严格推理的归纳法？,思考？有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么办法？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？(条件是什么）,创设情境, 第一块骨牌倒下；, 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下,两个条件的作用：,条件：奠基；条件：递推关系,二、挖掘内涵、形成概念：,证明某些与自然数有关的数学题,
3、可用下列方法来证明它们的正确性: (1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立,完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。,【归纳奠基】,【归纳递推】,例题：用数学归纳法证明,（二）、数学归纳法的步骤,根据(1)(2)知对任意的 时命题成立。,注：,（1）证明当 取第一个值 或 时结论正确,两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失去了递推的依据。,只有把第一、二步的结论结合在一起才能得出普遍性结论。因此完成一二两步
4、后，还要做一个总的结论。,（3）数学归纳法用来证明与正整数有关的命题。,（1）,（2）,用数学归纳法证明：,练习1,用数学归纳法证明：,证明：,请你来批作业,第二步的证明没有用上归纳假设!,用数学归纳法证明：,证明：,练习1,证明：1、当n=1时,左=12=1，右= n=1时，等式成立 2、假设n=k时，等式成立，即 那么，当n=k+1时 左=12+22+k2+(k+1)2= =右 n=k+1时，原等式成立 由1、2知当nN*时，原等式都成立,练习1.用数学归纳法证明,第二步的证明要用上归纳假设!,(1)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到 n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学
5、 归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无 效.,证明中的几个注意问题：,(2)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时 应根据具体情况而定.,(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要 分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清 应增加的项.,1）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）； 2）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式； 3）分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项； 4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等； 5）两个步骤
6、、一个结论缺一不可，否则结论不能成立： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉,用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：,多米诺骨牌动画演示,返回,问题情境三,题型一 用数学归纳法证明等式问题,第二步的证明要用上归纳假设!,例3、已知正数数列an中,前n项和为sn,且 用数学归纳法证明:,证:(1)当n=1时, =1,结论成立.,(2)假设当n=k时,结论成立,即,则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也成立.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.,第二步的证明要用上归纳假设!,题型二 用数学归纳法证明不等式问题,例5、用数学归纳法证明:,证:(1)当n=2时, 左边=
7、 不等式 成立.,(2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即有:,则当n=k+1时,我们有:,题型二 用数学归纳法证明不等式问题,即当n=k+1时,不等式也成立.,由(1)、(2)原不等式对一切 都成立.,例6、证明不等式:,证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2, 不等式显然成立.,(2)假设当n=k时不等式成立,即有:,则当n=k+1时,我们有:,即当n=k+1时,不等式也成立.,根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都 成立.,例7、求证:,证:(1)当n=2时,左边= ,右边= ,由于 故不等式成立.,(2)假设n=k( )时命题成立,即,则当n=k+1时,即当n=k+1时,命
8、题成立.,由(1)、(2)原不等式对一切 都成立.,例8、已知x 1，且x0，nN，n2 求证：(1+x)n1+nx.,（2）假设n=k时，不等式成立，即 (1+x)k1+kx 当n=k+1时，因为x 1 ，所以1+x0，于是 左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右边=1+(k+1)x 因为kx20，所以左边右边，即(1+x)k+11+(k+1)x 这就是说，原不等式当n=k+1时也成立 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.,证明： （1）当n=2时，左(1x)2=1+2x+x2 x0， 1+2x+x21+2
9、x=右 n=1时不等式成立,例9、已知 求证 : .,证:(1)当n=2时, , 不等式成立.,(2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即,则当n=k+1时, 有:,即当n=k+1时,不等式成立.,由(1),(2)所证不等式对一切 都成立.,题型三 用数学归纳法证明整除问题,例11、用数学归纳法证明: 当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.,证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命 题成立.,(2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除.,则当n=2k+2时,有,都能被x+y整除.,故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2
10、k+2时命题成立.,由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.,例12、用数学归纳法证明: 能被8 整除.,证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.,(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即 是8的倍数.,那么:,因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是 8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立.,由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除.,例13、求证:x3n-1+x3n-2+1能被x2+x+1整除.,证:(1)当n=1时, x3n-1+x3n-2+1= x2+x+1,从而命题成立.,(2)假设当n=k时命题成立,即x
11、3k-1+x3k-2+1能被 x2+x+1整除,则当n=k+1时,x3(k+1)-1+x3(k+12+1=x3k+2+x3k+1+1,=x3(x3k-1+x3k-2+1)-x3+1 = x3(x3k-1+x3k-2+1)-(x-1)(x2+x+1),因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被x2+x+1)-整除,所以上式右边能被x2+x+1整除.,即当n=k+1时,命题成立.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,命题成立.,题型四 用数学归纳法证明几何问题,例15、平面内有n (n2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的 个数 为多少?并证明.,当n=k+1时：第k
12、+1条直线分别与前k条直线各交于 一点，共增加k个点，,由1）、2）可知，对一切nN原命题均成立。,证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1, 而f(2)= 2(2-1)=1, 命题成立。,k+1条直线交点个数=f(k)+k= k(k-1)+k = k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)(k+1)-1=f(k+1), 即当n=k+1时命题仍成立。,2）假设n=k(kN,k2)时，k条直线交点个数为 f(k)= k(k-1),题型四 用数学归纳法证明几何问题,题型五 用数学归纳法解决探究性问题,题型五 用数学归纳法解决探究性问题,例18、是否存在常数a、b,使得等式: 对一切正整数n都成立,并证明你的结论.,解:令n=1,2,并整理得,以下用数学归纳法证明:,(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.,题型五 用数学归纳法解决探究性问题,(2)假设当n=k时结论正确,即:,则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.,
