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1、四边形 讲义知识脉络：一 基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.多边形：由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。凸边形：一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸边形。1四边形的内角和与外角和定理：（1）四边形的内角和等于360；（2）四边形的外角和等于360.2多边形的内角和与外角和定理：（1）n边形的内角和等于(n-2)180；（2）任意多边形的外角和等于360.3.平行四边形
2、：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的性质：因为四边形ABCD是平行四边形4.平行四边形的判定：.5.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离平行线间的距离处处相等平行四边形的面积： =BCAE=CDBF同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等.=(5)中心对称图形，对称中心是对角线的交点。(6)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积5.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形的性质：因为四边形ABCD是矩形6. 矩形的判定：四边形ABCD是
3、矩形.(4)矩形是轴对称、中心对称图形(5) 矩形面积长宽 7.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质：因为ABCD是菱形8菱形的判定：四边形ABCD是菱形.(4)菱形是轴对称、中心对称图形(5) 菱形面积底高对角线乘积的一半9.正方形：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。正方形的性质：因为ABCD是正方形 （1） （2）（3） (4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形如上方右图。(6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等(7)正方形的面
4、积：若正方形的边长为，对角线长为，则 10正方形的判定：四边形ABCD是正方形. (3)ABCD是矩形又AD=AB 四边形ABCD是正方形(2)判定正方形的一般顺序：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形(或矩形)；最后证明它是矩形(或菱形)11.梯形：只有一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。等腰梯形的性质：因为ABCD是等腰梯形 12.等腰梯形的判定：四边形ABCD是等腰梯形 (3)ABCD是梯形且ADBCAC=BDABCD四边形是等腰梯形(4)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴（5）梯形的面积(1) (2)梯形中有关图形面积： 13梯形中常见的
5、辅助线：14.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（三角形有三条中位线）三角形中位线定理：(性质)三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.15.梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线。（梯形的中位线有且只有一条）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.二中心对称图形：（1）定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转180O，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.（2）中心对称图形的性质：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分轴对称图形中心对称图形有一条对称轴直线有一个对
6、称中心点沿对称轴对折绕对称中心旋转180O对折后与原图形重合旋转后与原图形重合如果把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形这条直线叫做对称轴这时,我们也说这个图形关于这条直线对称 （3）中心对称的有关定理1关于中心对称的两个图形是全等形.2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.3如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.三 常识：1若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：.2规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.3如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.4常见图形
7、中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 .注意：线段有两条对称轴.边形的的性质：（1）边形的内角和等于（2）任意多边形的外角和等于（3）边形共有条对角线（4）在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。（5）正多边形的每个内角等于5四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角6顺次连接任意四边形和平行四边形四边中点所得的是四边形是平行四边形。顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所得的是四边形是菱形，如矩形、等腰梯形或图二中图形等。顺次连接对角线垂直的四边形的四边
8、中点所得的是四边形是矩形，如菱形或图三中图形等。顺次连接对角线既相等又垂直的四边形的四边中点所得的是四边形是正方形，如正方形或图四中图形等。证明类题型：1、在 ABCD 中，E、F分别是AB、CD上的点，且AECFADFEBC求证：BFDE。 2、菱形ABCD的对角线交于O点，DEAC，CEBD，求证：四边形OCED是矩形。ADECBO 3、如图，梯形ABCD中，ADBC，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点。求证：MN和PQ互相平分。4.已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形。5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、
9、BD相交于点O，（1），画出AOB平移后的三角形，其平移的方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长。（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD外还有哪一种特殊的平行四边形？并给出证明。6.如图所示，已知菱形ABCD中E在BC上，且AB=AE，BAE=EAD，AE交BD于M，试说明BE=AM。7.已知：如图，ABC中，BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EFBC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形。8 如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，求证：四边形AFCE是菱形。9.已知：如图，C是线段BD上一点，ABC和ECD
10、都是等边三角形，R、F、G、H分别是四边形ABDE各边的中点，求证：四边形RFGH是菱形。10.如图，已知在ABC中，AB=AC，B，C的平分线BD、CE相交于点M，DFCE，EGBD，DF与EG交于N，求证：四边形MDNE是菱形。11.已知：如图所示，ABCD为菱形，通过它的对角线的交点O作AB、BC的垂线，与AB、BC，CD，DA分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH为矩形。12.如图，菱形ABCD的边长为2，BD2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AECF2(1) 求证：BDEBCF；(2) 判断BEF的形状，并说明理由；(3) 设BEF的面积为S，求S的取值范围1
11、3、如图，正方形ABCD中，过D做DEAC，ACE =30，CE交AD于点F，求证：AE = AF； 14、如图，在ABC中，BAC =，ADBC于D，CE平分ACB，交AD于G，交AB于E，EFBC于F，求证：四边形AEFG是菱形；15、如图，正方形ABCD中，F在CD上，AE平分BAF，E为BC中点，求证：AF = BC + CF16、已知ABC 中，E、F 分别为 AB、AC 的中点，CD 平分BCA 交EF 于 D，求证：ADDC17、如图所示，以ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形ABD、BCE、ACF，猜想：四边形ADEF是什么四边形，试证明你的结论.18、已知：P是正
12、方形ABCD对角线BD上一点，PEDC，PFBC，E、F分别为垂足.求证：AP=EF.19、如图,ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CDBF，以AD为边作等边ADE.(1)求证：ACDCBF.(2)点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且DEF=30.20、如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，AHBD于H，CGBD于G，AE为BAD的平分线，交GC的延长线于E，求证：BD = CE；求值类：1.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，OFBC，CEBD，OE：BE=1：3，OF=4，求ADB的度数和BD的长。2. 如图所示，矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA
13、MD，若矩形的周长为36cm，求此矩形的面积。3. 如图，在矩形中，是上一点，是上一点，且，矩形的周长为，求与的长4. 如图所示，已知菱形ABCD中，E、F分别在BC和CD上，且B=EAF=60，BAE=15，求CEF的度数。5. 已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF。过点C作CGEA交AF于H，交AD于G，若BAE=25，BCD=130，求AHC的度数。6. 已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EFED，EFED求证：AE平分BAD7. 如图，在ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点，（1）求证四边形BDEF是菱形。（2）若AB=12cm，求菱形BDEF的周长？
