《3.4 函数的应用(ⅱ) 学案（人教b版必修1）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.4 函数的应用(ⅱ) 学案（人教b版必修1）（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.4函数的应用()【入门向导】想一想？杰米是一个百万富翁，一天，他碰到了一件奇怪的事一个叫韦伯的人对他说，我想和你订个合同，在整整的一个月(30天)内，我每天给你10万元，而你第一天只需给我1元钱，第二天给我2元钱，每天给我的钱是前一天的两倍杰米非常高兴，他同意订这样的合同同学们，按此合同，谁最终会获利？(提示公式：2021222n1)幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型的增长情况有什么区别？一般地，对于指数函数yax(a1)和幂函数yxn(n0)，通过探索可以发现，在区间(0，)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个
2、x0，当xx0时，就会有axxn.同样地，对于对数函数ylogax(a1)和幂函数yxn(n0)，在区间(0，)上，随着x的增长，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但是由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有logax1)、ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“级别”上，随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当xx0时
3、，就会有logaxxn0，b1)；5对数函数模型：f(x)mlogaxn(m、n、a为常数，a0，a1)；说明随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色6幂函数模型：f(x)axnb(a、b、n为常数，a0，n1)；7分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛函数应用举例例1 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达
4、到120万人(精确到1年)(1.012101.127,1.012151.196,1.012161.210)解(1)1年后该城市人口总数为y1001001.2%100(11.2%)，2年后该城市人口总数为y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2，3年后该城市人口总数为y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)2(11.2%)100(11.2%)x年后该城市人口总数为y100(11.2%)x(xN*)(2)10年后人口总数为100(11.2%)10112.7(万)(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100(11.2%)x120
5、，xlog1.0121.2016(年)因此，大约16年以后该城市人口将达到120万人例2 有一个受到污染的湖泊，其湖水的体积为V立方米，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r立方米现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合用g(t)表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为在时刻t时的湖水污染质量分数已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g(t)g(0)et(p0)，其中g(0)是湖水污染的初始质量分数(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；(2)求证：当g(0)时，湖泊的污染程度将越来越严重；(3)如果政府加
6、大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时(即污染停时)污染水平的5%?(1)解设0t1t2，g(t)为常数，g(t1)g(t2)，即g(0)et1et20，g(0).(2)证明设0t1t2，则g(t1)g(t2)g(0)et1et2g(0)，g(0)0，t1t2，g(t1)g(t2)0，g(t1)g(t2)在湖泊污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重(3)解污染源停止，即p0，此时g(t)g(0)et.设要经过t天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.即g(t)5%g(0)，即有5%g(0)g(0)et.由实际意义知g(0)0，et.
7、tln 20(天)，即需要ln 20天时间点评高考数学试题中联系生活实际和生产实际的应用问题，其创意新颖，设问角度独特，解题方法灵活，一般文字叙述长，数量关系分散且难以把握解决此类问题关键要认真审题，确切理解题意，进行科学的抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题，然后利用函数、方程、不等式等有关知识解答函数模型建立过程中的常见错误解答函数应用问题时，要分四步进行：第一步：阅读、理解；第二步：建立数学模型，把应用问题转化为数学问题；第三步：解答数学模型，求得结果；第四步：把数学结果转译成具体问题的结论，做出解答而这四步中，最为关键的是把第二步处理好只要把数学模型建立妥当，所有的问题即可在此基础
8、上迎刃而解但是，很多同学在建模过程中忽视了一些细节，导致“满盘皆输”一、忽视实际意义出错例3 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数现知一企业生产某种商品的数量为x(件)时的成本函数为y102x2x2(万元)，若售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润是多少？错解设该企业所能获取的最大利润为z(万元)，则z20x(102x2x2)，即z2x218x102(x4.5)230.5，故z的最大值为30.5，即该企业所能获取的最大利润为30.5万元剖析同学们，你认为以上解答出现了什么问题？应该怎样进行修正呢？题目中的条件已经暗示了x为自然数，而该错解中却
9、是在x4.5时取到的最大值30.5，这种情况在实际中是无法操作的正解设该企业所能获取的最大利润z(万元)，则z20x(102x2x2)(xN)，即z2x218x102(x4.5)230.5，故当x4或5时，z取最大值30，即该企业生产4件或5件商品时所取得的利润最大，为30万元二、因读题不精而出错例4 已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向作匀速直线运动，其位移y(km)和运动时间x(h)(0x5)的关系如图所示，给出以下说法：甲、乙运动的速度相同，都是5 km/h；甲、乙运动的时间相同，开始移动后相等时间内甲的位移比乙大；甲、乙运动的时间相同，乙的速度是4 km/h；当甲、乙运动了3小时后，
10、甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km处其中正确的说法是()A BC D错解和一定是一对一错，经分析，是对的；对于，因为乙的图象在甲的上方，所以应是甲的位移比乙小，故错误；对于，当甲、乙运动了3小时，甲的位移为3515(km)，乙的位移为53417(km)，故错误故选A.剖析错因在于未读懂图象，从而作出错误判断对于，不能依据图象的位置判断位移大小，要经计算判断；对于，乙的位移计算错误正解和一定是一对一错，经分析是对的；对于，甲、乙运动的时间显然都是5小时，因为甲的速度为5 km/h，乙的速度为4 km/h，所以开始移动后相等时间内甲的位移比乙大，故正确；对于，当甲、乙运动了3小时，甲的位
11、移为3515(km)，乙的位移为3412(km)，又因为乙是从甲前方5 km处开始运动的，所以甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km处，所以正确故选D.点评对于图象题，同学们一定要认真观察，仔细分析，切实理解其真实含义和实际背景三、因主观性太强而致错例5 如图所示，圆弧型声波DFE从坐标原点O向外传播若D是DFE与x轴的交点，设ODx(0xa)，圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC的面积为y(图中阴影部分)，则函数yf(x)的图象大致是()错解观察图1可知，声波扫过的面积先增大后减小，故正确答案为B.剖析本题的错误很明显，y指的是声波扫过的总面积，不是发展趋势，所以扫过的面
12、积始终是增大的，上述判断是因主观性太强而致错正解从题目所给的背景图形中不难发现：在声波未传到C点之前，扫过图形的面积不断增大，而且增长得越来越快当到达C点之后且离开A点之前，因为OABC，所以此时扫过图形的面积呈匀速增长当离开A点之后，扫过图形的面积会增长得越来越慢，所以函数图象刚开始应是下凹的，然后是一条上升的线段，最后是上凸的故选A.点评函数图象的凸凹性是函数的一个重要性质，其一般规律是：上凸函数图象若减，则从左到右减得越来越快；若增，则从左到右增得越来越慢；下凹函数图象正好相反错误总是垂青于那些基础知识不扎实、思维不严谨、解题不认真的人，读完本文，希望同学们能知道怎样远离错误.求解实际问
13、题四策略实际问题一般文字叙述较长、背景新颖、涉及知识面广很多同学在应用题面前束手无策，有的读不懂题意、有的不会分析这里向同学们介绍求解实际问题的四种思路，望对同学们的学习有所帮助一、抓常规，乱中找序实际问题往往与生活联系密切，无论多么复杂的问题，总存在着生活中的常规现象，抓住它，就在纷乱的条件中找到了“头序”，问题就能迎刃而解例1 某商店将每个进价为10元的商品，按每个18元销售时，每天可卖出60个经调查，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元，则日销售量就减少5个，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销售量就增加10个为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？分析“总利润销售量单个利润”这是生活中的常规，从这里入手我们先设每个售价为x元，每日利润为y元解若x18(即提价)，销售量为605(x18)，单个利润为x10，那么每日利润为y605(x18)(x10)5(x20)2500，显然当售价定为每个20元时，利润最大，其最大利润为500元若x18(即降价)，销售量为6010(18x)，单个利润为x
