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1、对数及其运算教案学习目标1.了解对数、常用对数、自然对数的概念;2.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化;3.理解和掌握对数的性质,会求简单的对数值.学习重难点1.对数的概念在指数函数f(x)ax(a0,且a1)中,对于实数集R内的每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值y,在R内都有 唯一确定 的值x和它对应. 幂指数x ,又叫做以a为底y的对数.一般地,对于指数式abN,我们把“以a为底N的对数b”记作logaN ,即blogaN(a0,a1).其中,数a叫做对数的 底数 ,N叫做 真数 ,读作“b等于以a为底N的对数”.2.对数logaN
2、(a0,且a1)的性质(1) 0和负数 没有对数,即N0;(2)1的对数为0,即 loga10 ;(3)底的对数等于1,即 logaa1 .3.常用对数以10为底的对数叫做常用对数.为了简便起见,对数log10N简记作 lg N . 学习过程问题情境对数,延长了天文学家的生命.“给我空间、时间和对数,我可以创造一个宇宙”,这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话.从这段话可以看到,伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论.那么,“对数”到底是什么呢？本节就来探讨这个问题.探究点一对数的概念问题1若24M,则M等于多少？若22N,则N等于多少？答：M16,N.问题2若2x16,则x等于多少？若2
3、x,则x等于多少？ 答：x的值分别为4,2.问题3满足2x3的x的值,我们用log23表示,即xlog23,并叫做“以2为底3的对数”.那么满足2x16,2x,4x8的x的值如何表示？答：分别表示为log216,log2,log48.小结：在指数函数f(x)ax(a0,且a1)中,对于实数集R内的每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值y,在R内都有唯一确定的值x和它对应.幂指数x,又叫做以a为底y的对数.一般地,对于指数式abN,我们把“以a为底N的对数b”记作logaN,即blogaN(a0,a1).其中,数a叫做对数的底数,N叫做真数,读作
4、“b等于以a为底N的对数”.探究点二对数与指数的关系 + + 问题1当a0,且a1时,若axN,则xlogaN,反之成立吗？为什么？答：反之也成立,因为对数表达式xlogaN不过是指数式axN的另一种表达形式,它们是同一关系的两种表达形式.问题2在指数式axN和对数式xlogaN中,a,x,N各自的地位有什么不同？ 学, , ,X,X, 答aNx指数式axN指数的底数幂幂指数对数式xlogaN对数的底数真数对数问题3若abN,则blogaN,二者组合可得什么等式？答：对数恒等式:a N.问题4当a0,且a1时,loga(2),loga0存在吗？为什么？由此能得到什么结论？答：不存在,因为log
5、a(2),loga0对应的指数式分别为ax2,ax0,x的值不存在,由此能得到的结论是:0和负数没有对数.问题5根据对数定义,loga1和logaa (a0,a1)的值分别是多少？答：loga10,logaa1.对任意a0且a1,都有a01, 化成对数式为loga10;a1a,化成对数式为logaa1.小结：对数logaN (a0,且a1)具有下列性质:(1)0和负数没有对数,即N0;(2)1的对数为0,即loga10;(3)底的对数等于1,即logaa1.例1求log22, log21, log216, log2.解：因为212,所以log221;因为201,所以log210;因为2416,
6、所以log2164;因为21,所以log21.小结：logaNx与axN (a0,且a1,N0)是等价的,表示a,x,N三者之间的同一种关系,可以利用其中两个量表示第三个量.因此,已知a,x,N中的任意两个量,就能求出另一个量.跟踪训练1将下列指数式写成对数式:(1)54625; (2)26; (3)3a27; (4)m5.73. 。 。 解：(1)log56254; (2)log26; (3)log327a; (4)log5.73m.例2计算:(1)log927; (2)log81; (3)log625.解：(1)设xlog927,则9x27,32x33,x.(2)设xlog81,则x81,
7、3 34,x16.(3)令xlog625,x625,5 54,x3.小结：要求对数的值,设对数为某一未知数,将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求解.跟踪训练2求下列各式中的x的值:(1)log64x; (2)logx86; (3)lg 100x.解：(1)x(64) (43) 42.(2)x68,所以x(x6) 8(23) 2.(3)10x100102,于是x2.探究点三常用对数问题阅读教材96页下半页,说出什么叫常用对数？常用对数如何表示？答：以10为底的对数叫做常用对数.通常把底10略去不写,并把“log”写成“lg”,并把log10N记做lg N.如果以后没有指出对数的底,都是指
8、常用对数.如“100的对数是2”就是“100的常用对数是2”.例3求lg 10,lg 100,lg 0.01.解：因为10110,所以lg 101;因为102100,所以lg 1002;因为1020.01,所以lg 0.012.小结：由本例题可以看出,对于常用对数,当真数为10n (n )时,lg 10nn;当真数不是10的整数次方时,常用对数的值可通过查对数表或使用 学计算器求得.跟踪训练3求下列各式中的x的值:(1)log2(log5x)0;(2)log3(lg x)1;(3)log(1)x.解：(1)log2(log5x)0. log5x201,x515.(2)log3(lg x)1,l
9、g x313, x1031 000.(3)log(1)x, (1)x1, x1. 练一练：当堂检测、目标达成落实处1.若log(x1)(x1)1,则x的取值范围是(B)A.x1 B.x1且x0C.x0 D.xR解析：由对数函数的定义可知x11，x10即x1且x0.2.已知logx3,则x_.解析：logx3,x()3,x .3.已知a(a0),则loga_4_.解析：由a(a0),得a()2()4,所以logalog()44.4.将下列对数式写成指数式:(1)log 164;(2)log21287;(3)lg 0.012.解：(1)416;(2)27128; (3)1020.01.课堂小结：1.掌握指数式与对数式的互化abNlogaNb.2.对数的常用性质有:负数和0没有对数,loga10,logaa1.3.对数恒等式有:a logaN N,logaann.4. 常用对数:底数为10的对数称为常用对数,记为lg N.
