《2018-2019学年人教b版 必修2 1.1.7柱锥台球的表面积和体积 学案(1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年人教b版 必修2 1.1.7柱锥台球的表面积和体积 学案(1)（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1.2 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积和体积学习目标：1.了解并掌握球的体积和表面积公式.2.会用球的体积与表面积公式解决实际问题(重点)3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题(难点、易混点)自 主 预 习探 新 知1球的体积设球的半径为R，则球的体积VR3.2球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S4R2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍 基础自测1思考辨析(1)球的体积之比等于半径比的平方( )(2)长方体既有外接球又有内切球( )(3)球面展开一定是平面的圆面( )(4)球的三视图都是圆( )提示 (1) 体积比应为半径比的立方(2) 长方体不一定有内切球(3) 球面展不成平面(
2、4)2若球的过球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是( )A B C D2C2C 由2RC，得R，所以S球面4R2.3若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的( )A2倍 B4倍 C8倍 D16倍C 设气球原来的半径为r，体积为V，则Vr3.当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为(2r)38r3.4一个球的外切正方体的表面积为6 cm2，则此球的体积为( )A cm3B cm3C cm3D cm3C 设球的直径为2R cm，则正方体的棱长为2R cm，所以64R26，解得R，所以球的体积为(cm3)合 作 探 究攻 重 难球的表面积与体积 (1)已知球的表面积为64，求它的
3、体积；(2)已知球的体积为，求它的表面积 解 (1)设球的半径为r，则由已知得4r264，r4.所以球的体积：Vr3.(2)设球的半径为R，由已知得R3，所以R5，所以球的表面积为：S4R2452100.规律方法 求球的表面积与体积的一个关键和两个结论(1)关键：把握住球的表面积公式S球4R2，球的体积公式V球R3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.(2)两个结论：两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.跟踪训练1过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积
4、为48 cm2，则球的表面积为_cm2.256 易知截面为一圆面，如图所示，圆O是球的过已知半径的大圆，AB是截面圆的直径，作OC垂直AB于点C，连接OA.由截面面积为48 cm2，可得AC4 cm.设OAR，则OCR，所以R2(4)2，解得R8 cm.故球的表面积S4R2256(cm2)2一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是 ( )A cm3 B cm3C cm3D cm3C 根据球的截面的性质，得球的半径R5(cm)，所以V球R3(cm3)球的表面积及体积的应用 一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形在此容器内注入水并且放入一个半径为r的
5、铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？思路探究：设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式来解决解 设PAB所在平面为轴截面，AB为水平面，设球未取出时，水面高PCh，球取出后水面高PHx，如图所示ACr，PC3r，以AB为底面直径的圆锥的容积为V圆锥AC2PC(r)23r3r3，V球r3.球取出后水面下降到EF，水的体积为V水EH2PH(PHtan 30)2PHx3.而V水V圆锥V球，即x33r3r3，xr.故球取出后水面的高为r.规律方法 1画出截面图是解答本题的关键2球的体积和表面积有着非常重要的应用在具体问题中
6、，要分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行计算跟踪训练2圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？解 设取出小球后，容器中水面下降h cm，两个小球的体积为V球23，此体积即等于它们在容器中排出水的体积V52h，所以52h，所以h(cm)，即若取出这两个小球，则容器的水面将下降 cm. 与球有关的切、接问题探究问题1若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其外接球半径R与三条棱长有何关系？提示 2R.2棱长为a的正方体的外接球，其半径R与棱长a有何数量关系？其内切球呢？提示 外接球半径Ra；
7、内接球半径Ra.3若一球与正方体的12条棱相切，则球半径R与棱长a有何数量关系？提示 Ra. (1)平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为( )【导学号：07742068】AB4C4D6(2)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_思路探究：(1)作出截面图，由图易求出半径R，进而求出其体积(2)先求出球半径，再求球的表面积(1)B (2)14 (1)画出截面图，如图：R.其体积VR34.故选B.(2)球的直径是长方体的体对角线，2R，S4R214.母题探究：1.若把本例(2)换成“棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上”
8、，求此球的体积解 正方体的外接球直径等于正方体的体对角线长，即2R，所以R，所以V球()34.2若把本例(2)换成“棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上”，求球的表面积解 把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则ax，由题意2Rxa，所以Ra，所以S球4R2a2.3若把本例(2)换成“三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长分别为2a，a，a”，求球的表面积和体积解 以三棱锥的三条侧棱为长方体从一顶点出发的三条棱，将三棱锥补成长方体，则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，其球的直径等于长方体的体对角线长，故2Ra，Ra，所以S球4R26a2，V球R3a3.规律方法 球的切接问题处理策略
9、及常用结论(1)在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等.(2)几个常用结论球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径；球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；球与棱锥相切，则可利用V棱锥S底hS表R，求球的半径R.当 堂 达 标固 双 基1直径为6的球的表面积和体积分别是( )A144，144 B144，36C36，144D36，36D 半径R3.所以S表4R236，V
10、R32736.故选D.2正方体的表面积为54，则它的外接球的表面积为( ) A27BC36DA 设正方体的棱长为a，则S6a254，a3.其外接球半径为Ra.外接球表面积为S4R2427.3表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64的球相切，则这个多面体的体积为( )A.Q BQ C.Q D2QC 4R264R4，VQRQ，故选C.4两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是_. 设大球的半径为R，则有R3213，R32，所以R.5圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是r，圆柱、圆锥的高都是2r，(1)求圆柱、圆锥、球的体积之比；(2)求圆柱、圆锥、球的表面积之比解 (1)V圆柱r22r2r3，V圆锥r22rr3，V球r3，所以V圆柱V圆锥V球312.(2)S圆柱2r2r2r26r2，S圆锥rr2(1)r2，S球4r2，所以S圆柱S圆锥S球6(1)4.
