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1、 2.2.2直线方程的几种形式学习目标:1.掌握直线方程的两点式的形式,了解其适用范围(重点)2.了解直线方程截距式的形式,特征及其适用范围(重点)3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标 自 主 预 习探 新 知1直线的两点式方程(1)直线的两点式方程的定义就是经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1x2,y1y2)的直线方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式(2)若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段P1P2的中点M的坐标为(x,y),则有中点坐标公式:思考1:若直线l上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),满足x1x2或y1y2时,直线
2、l的方程是什么?提示 当x1x2时,直线l平行于y轴,此时的直线方程为xx10或xx1;当y1y2时,直线l平行于x轴,此时的直线方程为yy10或yy1.2直线的截距式方程直线l与x轴交点A(a,0),与y轴交点B(0,b),其中a0,b0,则得直线方程1,叫做直线的截距式方程思考2:截距式方程能否表示过原点的直线? 提示 不能因为ab0,即有两个非零截距基础自测1思考辨析(1)不经过原点的直线都可以用方程1表示( )(2)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示( )提示 (1) 截距式不表示与坐标轴平行的直
3、线,也不表示过原点的直线(2)2已知2x13y14,2x23y24,则过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线l的方程是( )A2x3y4 B2x3y0C3x2y4D3x2y0A 2x13y14,2x23y24,A(x1,y1),B(x2,y2)都满足2x3y4.故直线l的方程为2x3y4.选A.3在x,y轴上的截距分别是3,4的直线方程是( )A1B1C1D1A 由截距式方程知直线方程为1.选A.合 作 探 究攻 重 难直线的两点式方程 (1)若点P(3,m)在过点A(2,1),B(3,4)的直线上,则m_.(2)ABC的三个顶点为A(3,0),B(2,1),C(2,3),求:AC所在直
4、线的方程;BC边的垂直平分线的方程. (1)2 由直线方程的两点式得,即.直线AB的方程为y1x2,点P(3,m)在直线AB上,则m132,得m2.(2)由直线方程的两点式得,所以AC所在直线的方程是3xy90.因为B(2,1),C(2,3),所以kBC,线段BC的中点坐标是,即(0,2),所以BC边的垂直平分线方程是y22(x0),整理得2xy20.规律方法 由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标(2)根据题中的条件,找到有关方程,解出点的坐标(3)由直线的两点式方程写出直线的方程提醒:当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件:两点的连线不
5、垂直于坐标轴若满足,则考虑用两点式求方程跟踪训练1在ABC中,已知点A(5,2),B(7,3),且边AC的中点M在y轴上,边BC的中点N在x轴上(1)求点C的坐标;(2)求直线MN的方程解 (1)设点C(x,y),由题意得0,0.得x5,y3.故所求点C的坐标是(5,3)(2)点M的坐标是,点N的坐标是(1,0),直线MN的方程是,即5x2y50.直线的截距式方程 求过点A(4,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程. 思路探究:直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等,应考虑直线过原点和不过原点两类,分别设出方程,再由直线l过点(4,2)求得直线方程解 当直线过原点时,它在x轴、y
6、轴上的截距都是0,满足题意此时,直线的斜率为,所以直线l的方程为yx,即x2y0.当直线不过原点时,由题意可设直线方程为1.又因为过点A,所以1.因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以|a|b|.由联立方程组,解得或所以所求直线的方程为1或1,化简得直线l的方程为xy6或xy2,即直线l的方程为xy60或xy20,综上,直线l的方程为x2y0,xy60,xy20.规律方法 用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标,因此用截距式画直线比较方便.(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时,经常使用截距式.(3)当直线
7、与坐标轴平行时,有一个截距不存在;当直线通过原点时,两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式,故解决问题过程中要注意分类讨论.跟踪训练2直线l过定点A(2,3),且与两坐标轴围成的三角形面积为4,则直线l的方程为_9x2y120或x2y40 法一:设直线方程为1,则解得或所以直线l的方程为1或1,即9x2y120或x2y40.法二:由题意知,直线l的斜率存在且不为0,设为k,则直线l的方程为y3k(x2),令x0,得y2k3,令y0,得x2,则S|2k3|4,所以(2k3)8.若(2k3)8,即4k24k90,无解若(2k3)8,即4k220k90,解得k或.所以直线l的方程为y3(x2)
8、或y3(x2)即9x2y120或x2y40.直线方程形式的灵活应用探究问题1若已知直线过定点,选择什么形式较好?过两点呢?提示 点斜式;过两点时可选择两点式或点斜式2若已知直线的斜率,选哪种形式的方程?提示 斜截式3若是直线与x、y轴的交点问题,选哪种形式的方程较好?提示 截距式 已知三角形的三个顶点A(5,0),B(3,3),C(0,2),求BC边所在直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程. 思路探究:选择两点式求BC方程,及BC边上的中线方程解 如图,过B(3,3),C(0,2)的两点式方程为,整理得5x3y60.这就是BC边所在直线的方程BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段,由
9、中点坐标公式可得点M的坐标为,即.过A(5,0),M的直线的方程为,即x13y50.这就是BC边上中线所在直线的方程母题探究:1.本例中条件不变,试求AB边上的高线所在直线方程解 设AB边上的高线斜率为k.kAB,k,又高线过点C(0,2),由点斜式方程得高线方程为y2(x0)即8x3y60.2本例条件不变,试求AC边所在直线方程解 A(5,0),C(0,2),由截距式方程得AC边所在直线方程为1,即2x5y100.3本例条件不变,试求与AB平行的中位线所在直线方程解 由探究1知,kAB,即中位线斜率k,由例题知BC中点为.所以由点斜式方程可得,中位线方程为y.即6x16y10.规律方法 直线
10、方程的选择技巧(1)已知一点的坐标,求过该点的直线方程,一般选取点斜式方程,再由其他条件确定直线的斜率.(2)若已知直线的斜率,一般选用直线的斜截式,再由其他条件确定直线的一个点或者截距.(3)若已知两点坐标,一般选用直线的两点式方程,若两点是与坐标轴的交点,就用截距式方程.(4)不论选用怎样的直线方程,都要注意各自方程的限制条件,对特殊情况下的直线要单独讨论解决.当 堂 达 标固 双 基1过两点(2,1)和(1,4)的直线方程为( )Ayx3 Byx1Cyx2Dyx2A 由两点式方程可得,即yx3.选A.2过点P(4,3)且在坐标轴上截距相等的直线有( ) A1条B2条C3条D4条B 过原点
11、时,直线方程为yx.直线不过原点时,可设其方程为1,1,a1.直线方程为xy10.所以这样的直线有2条,选B.3已知直线l的两点式方程为,则l的斜率为( )A B C DA 由两点式方程,知直线l过点(5,0),(3,3),所以l的斜率为.4若ABC的顶点A(5,0),B(3,2),C(1,2),则经过AB,BC两边中点的直线方程为( )A3xy20Bx3y40Cx3y20D3xy40C 由题意,可得线段AB的中点为(1,1),线段BC的中点为(2,0)因此所求直线方程为,即x3y20.5已知三角形的三个顶点A(0,4),B(2,6),C(8,0)(1)求三角形三边所在直线的方程;(2)求AC边上的垂直平分线的方程 解 (1)直线AB的方程为,整理得xy40;直线BC的方程为,整理得xy80;由截距式可知,直线AC的方程为1,整理得x2y80.(2)线段AC的中点为D(4,2),直线AC的斜率为,则AC边上的垂直平分线的斜率为2,所以AC边的垂直平分线的方程为y22(x4),整理得2xy60.