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1、 2.2.2直线方程的几种形式学习目标：1.掌握直线方程的两点式的形式，了解其适用范围(重点)2.了解直线方程截距式的形式，特征及其适用范围(重点)3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标 自 主 预 习探 新 知1直线的两点式方程(1)直线的两点式方程的定义就是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1x2，y1y2)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式(2)若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则有中点坐标公式：思考1：若直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，满足x1x2或y1y2时，直线
2、l的方程是什么？提示 当x1x2时，直线l平行于y轴，此时的直线方程为xx10或xx1；当y1y2时，直线l平行于x轴，此时的直线方程为yy10或yy1.2直线的截距式方程直线l与x轴交点A(a,0)，与y轴交点B(0，b)，其中a0，b0，则得直线方程1，叫做直线的截距式方程思考2：截距式方程能否表示过原点的直线？ 提示 不能因为ab0，即有两个非零截距基础自测1思考辨析(1)不经过原点的直线都可以用方程1表示( )(2)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示( )提示 (1) 截距式不表示与坐标轴平行的直
3、线，也不表示过原点的直线(2)2已知2x13y14,2x23y24，则过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l的方程是( )A2x3y4 B2x3y0C3x2y4D3x2y0A 2x13y14,2x23y24，A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足2x3y4.故直线l的方程为2x3y4.选A.3在x，y轴上的截距分别是3,4的直线方程是( )A1B1C1D1A 由截距式方程知直线方程为1.选A.合 作 探 究攻 重 难直线的两点式方程 (1)若点P(3，m)在过点A(2,1)，B(3,4)的直线上，则m_.(2)ABC的三个顶点为A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：AC所在直
4、线的方程；BC边的垂直平分线的方程. (1)2 由直线方程的两点式得，即.直线AB的方程为y1x2，点P(3，m)在直线AB上，则m132，得m2.(2)由直线方程的两点式得，所以AC所在直线的方程是3xy90.因为B(2,1)，C(2,3)，所以kBC，线段BC的中点坐标是，即(0,2)，所以BC边的垂直平分线方程是y22(x0)，整理得2xy20.规律方法 由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标(3)由直线的两点式方程写出直线的方程提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不
5、垂直于坐标轴若满足，则考虑用两点式求方程跟踪训练1在ABC中，已知点A(5，2)，B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程解 (1)设点C(x，y)，由题意得0，0.得x5，y3.故所求点C的坐标是(5，3)(2)点M的坐标是，点N的坐标是(1,0)，直线MN的方程是，即5x2y50.直线的截距式方程 求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程. 思路探究：直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，应考虑直线过原点和不过原点两类，分别设出方程，再由直线l过点(4,2)求得直线方程解 当直线过原点时，它在x轴、y
6、轴上的截距都是0，满足题意此时，直线的斜率为，所以直线l的方程为yx，即x2y0.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为1.又因为过点A，所以1.因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a|b|.由联立方程组，解得或所以所求直线的方程为1或1，化简得直线l的方程为xy6或xy2，即直线l的方程为xy60或xy20，综上，直线l的方程为x2y0，xy60，xy20.规律方法 用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便.(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式.(3)当直线
7、与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论.跟踪训练2直线l过定点A(2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则直线l的方程为_9x2y120或x2y40 法一：设直线方程为1，则解得或所以直线l的方程为1或1，即9x2y120或x2y40.法二：由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设为k，则直线l的方程为y3k(x2)，令x0，得y2k3，令y0，得x2，则S|2k3|4，所以(2k3)8.若(2k3)8，即4k24k90，无解若(2k3)8，即4k220k90，解得k或.所以直线l的方程为y3(x2)
8、或y3(x2)即9x2y120或x2y40.直线方程形式的灵活应用探究问题1若已知直线过定点，选择什么形式较好？过两点呢？提示 点斜式；过两点时可选择两点式或点斜式2若已知直线的斜率，选哪种形式的方程？提示 斜截式3若是直线与x、y轴的交点问题，选哪种形式的方程较好？提示 截距式 已知三角形的三个顶点A(5,0)，B(3,3)，C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程. 思路探究：选择两点式求BC方程，及BC边上的中线方程解 如图，过B(3,3)，C(0,2)的两点式方程为，整理得5x3y60.这就是BC边所在直线的方程BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由
9、中点坐标公式可得点M的坐标为，即.过A(5,0)，M的直线的方程为，即x13y50.这就是BC边上中线所在直线的方程母题探究：1.本例中条件不变，试求AB边上的高线所在直线方程解 设AB边上的高线斜率为k.kAB，k，又高线过点C(0,2)，由点斜式方程得高线方程为y2(x0)即8x3y60.2本例条件不变，试求AC边所在直线方程解 A(5,0)，C(0,2)，由截距式方程得AC边所在直线方程为1，即2x5y100.3本例条件不变，试求与AB平行的中位线所在直线方程解 由探究1知，kAB，即中位线斜率k，由例题知BC中点为.所以由点斜式方程可得，中位线方程为y.即6x16y10.规律方法 直线
10、方程的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率.(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距.(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程.(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决.当 堂 达 标固 双 基1过两点(2,1)和(1,4)的直线方程为( )Ayx3 Byx1Cyx2Dyx2A 由两点式方程可得，即yx3.选A.2过点P(4，3)且在坐标轴上截距相等的直线有( ) A1条B2条C3条D4条B 过原点
11、时，直线方程为yx.直线不过原点时，可设其方程为1，1，a1.直线方程为xy10.所以这样的直线有2条，选B.3已知直线l的两点式方程为，则l的斜率为( )A B C DA 由两点式方程，知直线l过点(5，0)，(3，3)，所以l的斜率为.4若ABC的顶点A(5,0)，B(3，2)，C(1,2)，则经过AB，BC两边中点的直线方程为( )A3xy20Bx3y40Cx3y20D3xy40C 由题意，可得线段AB的中点为(1，1)，线段BC的中点为(2,0)因此所求直线方程为，即x3y20.5已知三角形的三个顶点A(0,4)，B(2,6)，C(8,0)(1)求三角形三边所在直线的方程；(2)求AC边上的垂直平分线的方程 解 (1)直线AB的方程为，整理得xy40；直线BC的方程为，整理得xy80；由截距式可知，直线AC的方程为1，整理得x2y80.(2)线段AC的中点为D(4,2)，直线AC的斜率为，则AC边上的垂直平分线的斜率为2，所以AC边的垂直平分线的方程为y22(x4)，整理得2xy60.
