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1、2.3.2 等比数列的前n项和,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,知识探究,等比数列前n项和公式 等比数列an首项为a1,公比为q,前n项和为Sn,则当q=1时,Sn= ;当q 1时,Sn= = .,na1,点击进入 【情境导学】,【拓展延伸】 1.等比数列前n项和 等比数列an的前n项和公式 Sn=,(1)在运用公式求和时,一定要注意q的值是否为1. 当q=1时,是常数列,Sn=na1;当q1时,Sn= ,特别地,当等比数列的公比是字母参数,在求等比数列前n项和时,一定要分公比为1和不为1两种情况讨论.,(2)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1,q,n,an,Sn五个
2、量,知道其中任意三个量,可求其余两个量.,2.错位相减法 (1)教材中介绍的第二种推导等比数列前n项和的方法即为错位相减法,其实质是把等式两边同乘等比数列的公比q,得一新等式,错位相减求出Sn-qSn,这样可以消去 大量的“中间项”从而能求出Sn,当q=1时,Sn=na1,当q1时,Sn= .,(2)对于形如xnyn的数列的和,其中xn是等差数列,yn为等比数列,也可以用错位相减法求和,其实质是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题,具体用法为Sn=x1y1+x2y2+x3y3+xnyn =x1y1+(x1+d)y1q+(x1+2d)y1q2+x1+(n-1)dy1qn-1, 两边同乘q得
3、qSn=x1y1q+(x1+d)y1q2+x1+(n-2)dy1qn-1+x1+(n-1)dy1qn, 作差得(1-q)Sn=x1y1+d(y1q+y1q2+y1qn-1)-x1+(n-1)dy1qn =x1y1+d(y2+y3+yn)-xnyn+1. 其中y2+y3+yn用等比数列求和公式可求出.,自我检测,B,1.等比数列an的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是( ) (A)179 (B)211 (C)248 (D)275,2.在等比数列an中,a1=5,S5=55,则公比q等于( ) (A)4 (B)2 (C)-2 (D)-4,C,解析:由S5= 得, =11, 代
4、入验证得q=-2适合.,D,3.等比数列1,a,a2,an-1,(a0)的前n项和为( ),解析:公比为q=a,当a=1时,Sn=n, 当a1时,Sn= .,4.在等比数列an中,若a1+a2+a3=168,a4+a5+a6=21,则公比q= , a1= .,类型一,等比数列前n项和公式,【例1】 在首项为a1且公比为q的等比数列an中, (1)已知S3=4,S6=36,求an; (2)已知a1+a3=10,a4+a6= ,求S5.,思路点拨:根据所给条件,列出关于a1与q的方程组求a1和q,求解时要注意判断公比q是否为1.,课堂探究素养提升,方法技巧 (1)在解决与前n项和有关的问题时,首先
5、要对公比q=1或q1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论. (2)对于基本量的计算,列方程组求解是基本方法,通常用约分或两式相除的方法进行消元,有时需用整体代换的思想. (3)在等比数列中,对于a1,q,n,an,Sn五个量,若已知其中三个量就可求出其余两个量,常常列方程组来解答问题.,变式训练1-1:(1)(2017浙江台州市高一下期末)已知数列an为等比数列,其前n项和为Sn,若a6=8a3,则 的值为( ) (A)18 (B)9 (C)8 (D)4,(2)(2017湖北省部分重点中学高一下期末)已知一个等比数列首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为341,偶数项之和为682,则这个数
6、列的项数为( ) (A)4 (B)6 (C)8 (D)10,类型二,等比数列前n项和的性质,思路点拨:可将已知和未知都用a1,q表示出来,也可用等比数列的性质来解.,【例2】 在等比数列an中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.,方法技巧 若数列an是公比为q的等比数列,Sn是其前n项和,则有(1)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,(q-1)仍成等比数列,且公比为qn;(2)Sn+m= Sn+qnSm;(3)若项数为2n(nN+),则 =q.,变式训练2-1:已知等比数列an,an0,S3=6,a7+a8+a9=24,则S99为多少?,类型三,错位相减法求和,【例3】 求数列1,3a,
7、5a2,7a3,(2n-1)an-1(a0)的前n项的和.,思路点拨:由于1,3,5,7,2n-1是等差数列,而1,a,a2,an-1成等比数列,故可采用错位相减法求和.,方法技巧 (1)一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列且公比为q,求数列anbn的前n项和时,可采用“乘公比,错位相减”的方法,要注意识别题目类型,特别是当公比为负数的情形更要注意. (2)在写出Sn与qSn的表达式时,应注意将两式“错位对齐”,以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式. (3)在应用等比数列求和公式时应注意“q1”这一条件.若不能确定公比q是否为1,应分两种情况讨论.,变式训练3-1:已知首项都
8、是1的两个数列an,bn(bn0,nN*)满足anbn+1- an+1bn+2bn+1bn=0. (1)令 cn= ,求数列cn的通项公式;,(2)若bn=3n-1,求数列an的前n项和Sn.,解:(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1, 于是数列an的前n项和Sn=130+331+532+(2n-1)3n-1, 3Sn=131+332+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n, 相减得-2Sn=1+2(31+32+3n-1)-(2n-1)3n =-2-(2n-2)3n, 所以Sn=(n-1)3n+1.,类型四,易错辨析,【例4】 求1+a+a2+an+2(a0)的值.,纠错:本题的求解过程有两种错误,一是公式q=a=1时所求结果无意义,二是该数列虽然是等比数列,但不是求前n项和.由于数列的通项公式在a1时为an=an-1,因此该数列是求前n+3项的和.,点击进入 课时作业,谢谢观赏！,
