《2017-2018学年人教b版选修4-5 三元均值不等式 课件（29张）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年人教b版选修4-5 三元均值不等式 课件（29张）（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学人教B版 选修45 不等式选讲,No.1 middle school ，my love ！,No.1 middle school ，my love ！,第3课时 三元均值不等式,二元基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关系，那么这个不等式能否推广呢?例如，对于三个正数，会有怎样的不等式成立呢?,No.1 middle school ，my love ！,预学1:三元均值不等式 如果a，b，cR，那么a3b3c33abc(当且仅当abc时取等号). 议一议:怎样利用二元基本不等式证明上面的不等式? 【解析】a，b，c0，a3b3c3abc2 2 2 (abc2)2 2 4abc
2、，a3b3c33abc，当且仅当abc时等号成立.,No.1 middle school ，my love ！,预学2:如果a，b，cR，那么 (当且仅当abc时取等号). 想一想:学习了三元均值不等式后，某同学迷惑了，你能帮她解惑吗?下面是该同学对一道题的两种解法: 已知x0，求x2 2的最小值.,No.1 middle school ，my love ！,解法一:x0，x2 22 22 2， (x2 2)min2 2. 解法二:x0，x2 23 3 ， (x2 2)min3 .,No.1 middle school ，my love ！,【解析】第二种解法错误，因为x2 2不能同时成立.,
3、No.1 middle school ，my love ！,预学3:称 为正数a，b，c的算术平均，称 为正数为a，b，c的几何平均. 语言表述为三个正数的算术平均不小于它们的几何平均. 想一想:上面的结论可以推广到一般情形，即 “n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当这n个正数都相等时，等号成立.”试用数学语言写出上面的结论.,No.1 middle school ，my love ！,【解析】a1，a2，an均属于正实数， 则 (当且仅当a1a2an时，等号成立).,No.1 middle school ，my love ！,预学4:用三元均值不等式 和a3b3c33abc求
4、最值时的使用条件是“一正、二定、三相等”.,No.1 middle school ，my love ！,议一议:已知x0，有人在求4x 的最小值时，把4x拆成2x2x，再用三元均值不等式求最值，如:4x 2x2x 3 6.为什么不能把4x拆成x3x，如4x x3x 3 3 ，小组讨论发表看法. 【解析】等号成立的条件是三个数相等，所以平均拆解能确保三个数相等成立.,No.1 middle school ，my love ！,1.利用三元不等式求最值 例1、设a，b，cR，且abc1，求(1a)(1b)(1c)的最大值. 【方法指导】利用条件abc1，选择不等式的变形abc( )3即可进行最值的
5、求解.,No.1 middle school ，my love ！,【解析】由于a，b，cR，且abc1，所以0a1，0b1，0c1. 所以(1a)(1b)(1c) ()()() 3( )3 ， 当且仅当1a1b1c， 即abc 时，原式取得最大值 .,No.1 middle school ，my love ！,变式训练1若x0，则4x 的最小值是( ). A.9 B.3 C.13 D.不存在 【解析】4x 2x2x 3 3 ，当且仅当2x ，即x 时，等号成立，选B.,No.1 middle school ，my love ！,2.利用三元不等式证明 例2已知a，b，c均属于正实数，abc1
6、，求证: 9. 【方法指导】由已知条件abc1求出 ，再利用三元不等式求出 的范围.,No.1 middle school ，my love ！,【解析】a，b，c均属于正实数，abc1， 3 abc1， ， 3， 3 9， 当且仅当abc时，等号成立.,No.1 middle school ，my love ！,变式训练2、已知a，b，c均属于正实数，求证:( )( )9. 【解析】 3 3， 又 3 3，( )( )9，当且仅当abc时，等号成立.,No.1 middle school ，my love ！,3.构造三元均值不等式 例3若，为锐角，且cos2cos2cos21. 求证: .
7、 【方法指导】充分利用条件中的cos2cos2cos21，结合待求证的不等式进行变换，然后注意使用基本不等式可以找到证明的突破口.,No.1 middle school ，my love ！,【解析】设A ， B ， C . 结合已知得 BC 3，,No.1 middle school ，my love ！,AB 3 3， 同理AC3，,No.1 middle school ，my love ！,ABAC6， 则2A(BC)6A ， 即 . 当且仅当sin sin sin ，即时，等号成立.,No.1 middle school ，my love ！,变式训练3、已知为锐角，求ysin cos
8、2的最大值. 【解析】y2sin2cos2cos2 2sin2(1sin2)(1sin2) ( )3 ， 当且仅当2sin21sin2， 即sin 时取等号， ymax .,1.三个正数的算术几何平均不等式具有将“和式”转化为“积式”的功能.运用三个正数的算术几何平均不等式时，要注意: (1)“一正”，不论是三个数的或者n个数的算术几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的，如abc3 ，取ab2，c2时，abc2，而3 6，显然26不成立.,No.1 middle school ，my love ！,(2)“二定”，包含两类求最值问题，一是已知n个正数的和为定值(即a1a2an为定值
9、)，求其积a1a2an的最大值;二是已知积a1a2an为定值，求其和a1a2an的最小值. (3)“三相等”，取“”的条件是a1a2an，不能只是一部分相等.,No.1 middle school ，my love ！,2.重要不等式a2b22ab与a3b3c33abc的运用条件不一样，前者a，bR，后者a，b，cR，要注意区别. 3.注意算术几何平均不等式中的变形与拼凑方法.,No.1 middle school ，my love ！,No.1 middle school ，my love ！,下面是两个同学求函数y2x2 (x0)的最大值的解法，请指出解法中的错误之处，并给出正确的解法. 解法一:y2x2 2x2 3 3 .ymin3 . 解法二:y2x2
